Entero positivo de la solución a la ecuación de $(x_1+x_2+x_3)(y_1+y_2+y_3+y_4)=15$

Question

¿Cuál es el número total de enteros positivos solución de la ecuación

$(x_1+x_2+x_3)(y_1+y_2+y_3+y_4)=15$

un) 20 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ b) 18

c) 10 $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ d) 4

Sol. $(1,1,1,)(2,1,1,1)$, $(1,1,1,)(1,2,1,1)$

$(1,1,1,)(1,1,2,1)$ , $(1,1,1,)(1,1,1,2)$

Por lo tanto, hay sólo 4 enteros positivos solución de la ecuación.

¿Hay alguna otra manera de acercarse a esta pregunta o esta es la única que he hecho?

Answer 1

Desde $15 = 1\cdot15 = 3 \cdot 5$, las únicas posibilidades son

$$(x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3 + y_4) = (1, 15), (15, 1), (3, 5), (5, 3)$$

Dado que las variables son todas menos la $1$, podemos descartar que el caso de que $x_1 + x_2 + x_3 = 1$ o donde $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 1, 3$ para los valores mínimos de cada suma supere los trabajos respectivos.

Esto nos deja con

$$(x_1 + x_2 + x_3, y_1 + y_2 + y_3 + y_4) = (3, 5)$$

Aquí vemos que la única posible cesión para$x_1, x_2, x_3$$x_1 = x_2 = x_3 = 1$. Tan sólo tenemos que contar el número de soluciones a

$$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 5$$

lo cual es posible a través de las Estrellas y las Barras de método. De hecho, usted ni siquiera necesita de todo esto si se considera el hecho de que $y_1, y_2, y_3, y_4 \ge 1$.

Answer 2

$15 = 5 * 3$, Lo $(x_1 + x_2 + x_3) = 3$ o $5$ mismo para el otro. $(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) = 3$ no tiene solución. $\therefore$ $(x_1 + x_2 + x_3) = 3$ y $(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) = 5$. Ahora usted sabe $x_1, x_2, x_3$ no puede ser mayor que $1$. $\therefore$ la única solución para es $(1 + 1 + 1)$. En $(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) = 5$, sólo una variable puede ser $2$, resto a $1$. Ahora podemos utilizar permutación aquí como tenemos que organizar $2$ $4$ posición posible. $$P = {n!\over (n-r)!}$$ $$P = {4!\over (4-1)!} = 4$$

Answer 3

Ya que todos los números enteros son positivos, sólo podemos tener $$x_1+x_2+x_3=3$$ $$y_1+y_2+y_3+y_4=5$$ En la primera ecuación, claramente $x_1=x_2=x_3=1$ En el segundo,sólo uno es igual a $2$ y todo lo demás es igual a 1 Por lo tanto, las soluciones: $$(1,1,1)(2,1,1,1)$$ $$ (1,1,1)(1,2,1,1)$$ $$(1,1,1)(1,1,2,1)$$ $$(1,1,1)(1,1,1,2)$$

4 posibilidades.