Cuántas opciones hay para 15 estudiantes dividir en 3 grupos de igual tamaño?

Question

Cuántas opciones hay para 15 estudiantes dividir en 3 grupos de igual tamaño?

Ahora sé que el soultion es $\;\dfrac {15!}{5!5!5!3!}\;$ pero no puedo entender por qué.

Puede alguien por favor me ilumine?

Answer 1

Considere los siguientes puntos:

1. Supongamos que la línea de los estudiantes en línea y elige los 5 primeros estudiantes que pertenecen al grupo 1, el próximo 5 para el grupo 2 y los últimos 5 para el grupo 3.

2. Hay 15! formas de la línea de los estudiantes en una línea.

3. Sin embargo, en ninguna línea en particular, el orden de los estudiantes en cada grupo no importa. Por lo tanto, para cada línea, tenemos 5! 5! 5! formas de organización de los estudiantes en cada grupo. Por lo tanto, el número de maneras de organizar los alumnos en 3 grupos iguales es: $$\frac{15!}{5! 5! 5!}$$

4. Pero, el etiquetado de los grupos también no importa. Podemos etiquetar el grupo 1 grupo 2 grupo 2 grupo 3 y así sucesivamente. Tenemos 3! formas de etiqueta de los grupos. Por lo tanto, el número final de maneras de organizar los alumnos en 3 grupos iguales es:

$$\frac{15!}{5! 5! 5! 3!}$$

Answer 2

• Hay $\,\binom{15}{5}\,$ formas de elegir los cinco estudiantes por grupo UNO,
• Ahora, hay $\binom{10}{5}$ formas de elegir los cinco estudiantes por grupo DOS,
• Esto nos deja con sólo cinco estudiantes: es decir, por lo tanto, no sólo es $\,\binom 55 = 1\,$ manera de elegir a los estudiantes por grupo de TRES.

La multiplicación de estos factores: $$\binom{15}{5} \times \binom{10}{5} \times \binom 55= \frac{15!}{10!\,5!}\times \frac{10!}{5!\,5!}\times 1 = \frac{15!}{5!\,5!\,5!}\tag{1}$$

Ahora tenemos que dividir ese total por $\,3!,\,$ desde el etiquetado/orden de los grupos (grupo UNO, el grupo DOS, grupo de TRES) no importa: ya hay $3!$ formas de etiquetado de los grupos, necesitamos dividir el total en $(1)$$\,3!$.

Por lo tanto, nuestra respuesta final es:

$$\text{There are}\;\left(\frac{15!}{5!\,5!\,5!\,3!}\right)\;\text{ways to divide 15 students into three groups of equal size.}$$

Answer 3

De hecho, encontré una buena forma de resolverlo (Después de leer el post en el comentario):

Decir que me elija a una persona en primer lugar en el line-up, Ahora la persona tiene $\binom {14}4$ maneras de elegir a otros 4 miembros de grupos, Entonces la siguiente persona en la línea de arriba ha $\binom 94$ formas de elección de otros miembros de grupos. Finalmente, el último miembro de la ha $\binom 44=1$ formas de elección de los miembros de su grupo.

Si multiplicamos todos los de arriba: $\binom {14}4\times$$\binom 94$ y obtenemos el mismo resultado que se indica. (Acaba de escribir un poco diferente.)