$\frac{(x + \sqrt{x}) - (x-\sqrt{x})}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}}$?

Question

De acuerdo a un ejemplo en mi libro de texto:

$$\frac{(x + \sqrt{x}) - (x-\sqrt{x})}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}} = \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{x}}}}$$

No veo cómo esto funciona. Lo más cercano que puedo conseguir es:

$$\frac{(x + \sqrt{x}) - (x-\sqrt{x})}{\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}}} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}} + 1}+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}} -1})} = \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}} + 1}+\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}} -1}}$$

Que se sale un poco. Pero ni siquiera estoy seguro de si he calculado correctamente. Lo que me estoy perdiendo, ¿cuál es la manera de pensar?

Answer 1

Usted tiene $$ \sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x-\sqrt{x}} = \sqrt{x(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})} + \sqrt{x( 1 - \frac{1}{\sqrt{x}})} $$ Parece que sólo deja fuera a $\sqrt{x}$ desde el último término.

Answer 2

$$ \frac{(x + \sqrt{x}) - (x - \sqrt{x} )}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}} = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x + \sqrt{x}} + \sqrt{x - \sqrt{x}}}$$ Dividir por $\sqrt{x}$ a lo largo. Se simplifica a $$\frac{2}{\dfrac{\sqrt{x + \sqrt{x}} }{\sqrt{x}} + \dfrac{\sqrt{x - \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}}.$$ Ahora el denominador se simplifica a $\sqrt{\dfrac{x + \sqrt{x}}{x}} + \sqrt{\dfrac{x - \sqrt{x}}{x}} $ y la respuesta viene muy bien.