En topología algebraica, existe una noción de cubrir el espacio, que esencialmente "de-identifica" los puntos que tienen el mismo aspecto pero que para ciertos fines, realmente no debería ser considerado de la misma. Me preguntaba si se puede hacer algo como esto en el álgebra. Explícitamente, supongamos que tenemos una estructura algebraica $Y$. Ahora imagine que hay una subalgebra de $Y$ cuyos puntos deseamos "de identificar". Nos decribe este por otro álgebra $X$ y un homomorphism $\varphi : X \rightarrow Y$, y pensamos en la imagen de este homomorphism como el subconjunto de $X$ cuyos puntos deseamos de identificar de manera que $\varphi$ se convierte en una inyección.
Estamos dispuestos a tolerar más "des-identificaciones" que sólo aquellos en los que la imagen de $\varphi$, pero queremos que la mínima cantidad de des-identificación.
Pregunta General. Hay una forma aceptada en general de "des-identificación" de los elementos de estructuras algebraicas $X$ sobre la base de un homomorphism $\varphi : X \rightarrow Y$ a fin de hacer la $\varphi$ inyectiva?
De todos modos, deja de hacer lo que es obvio. En primer lugar, definir que una ampliación del dominio de $\varphi$ consta de un álgebra $\overline{X}$ junto con morfismos $X \hookrightarrow \overline{X}$ $\overline{X} \rightarrow Y$ tales que el primero es inyectiva y el evidente triángulo desplazamientos. Desde ampliaciones del dominio de $\varphi$ forma una categoría de una manera natural, podemos intentar buscar la terminal de objetos en la categoría de ampliaciones.
Pregunta específica. Deje $\mathsf{T}$ denotar un Lawvere teoría y supongamos que $\varphi : X \rightarrow Y$ denota una morfismos de $\mathsf{T}$-álgebras. ¿La categoría de ampliaciones del dominio de $\varphi$ siempre tienen un terminal con objeto?
