Qué $G\times K\cong H\times K$ implican $G\cong H$?

Question

Deje $G\times K$ ser un grupo finito. Suppoose $G\times K\cong H\times K$. Es esto suficiente para implicar $G\cong H$?

Answer 1

Corolario de 8,42: Vamos a $G$ ser un no-trivial finitely generado abelian grupo y dejar $$G=H_1\times...\times H_m=K_1\times ....\times K_n$$ where $m,n$ are positive integers and $H_i,K_j$ are non-trivial indecomposable subgroups of $G$ Then $m=n$ and, by relabeling the suffices if necessary, $$H_i=K_j$$ for each $i=1,...n$

Un Curso sobre Teoría de grupos por J. J. Rose

Answer 2

Vipul Naik encontrado una primaria de la prueba:

Para cualquier grupos finitos $L$$G$, vamos a $h(L,G)$ denotar el número de homomorphisms de $L$ $G$ $i(L,G)$denotar el número de monomorphisms de$L$$G$. Observe que $$h(L,G)= \sum\limits_{N \lhd L} i(L/N,G) \hspace{1cm} (1)$$

Deje $G,H,K$ tres grupos finitos tal que $G \times H \simeq G \times K$. A continuación,\begin{gather}h(L,G \times H)=h(L,G \times K) \\ h(L,G)h(L,H)=h(L,G)h(L,K) \\ h(L,H)=h(L,K)\end {reunir} para cualquier grupo finito $L$, ya que el $h(L,G) \neq 0$. El uso de $(1)$, es fácil deducir que el $i(L,H)=i(L,K)$ para cualquier grupo finito $L$ por inducción sobre la cardinalidad de a $L$. Por lo tanto $$i(H,K)=i(H,H) \neq 0.$$

Por lo tanto, existe una monomorphism de$H$$K$. Desde $H$ $K$ tienen la misma cardinalidad, podemos deducir que $H$ $K$ en realidad son isomorfos.

Answer 3

Sí. De hecho, sólo se necesita asumir que $K$ es finito; es decir, grupos finitos son cancelables. Este es un teorema debido a Hirshon.