He visto la Pell de la ecuación de la página de la wiki, pero tengo que probar esto desde cero, sin mencionar cualquier fórmula. También he visto varias respuestas en este sitio, pero las respuestas tienden a saltar y asumir las fórmulas.
Esto es lo que la gente hace -> $x^2 - 3y^2 = 1$ tiene solución 1, 0.
El próximo dicen que "observar" que $$(x',y') = (2x + 3y, x + 2y)$$ es también una solución.
Lo que yo estoy preguntando es cómo se obtiene este valor. Alguien puede ayudarme?
Basado en un resultado similar sé por $x^2 -2y^2 = 1$, apostaría oro sólido que cae fuera del álgebra abstracta en el estudio de el anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{3}] = \{ a + \sqrt{3}b \ | \ a, b \in \mathbb{Z} \}$.
Definimos una función de $N: \mathbb{Z}[\sqrt{3}] \to \mathbb{Z}$ inspirado en el complejo de la norma, la cual se multiplica un número por su complejo conjugado.
$N(x + \sqrt{3}y) := (x +\sqrt{3}y)(x - \sqrt{3}y) = x^2 -3y^2$
Ahora, lo que pasa es que este comparte una agradable propiedad del complejo de la norma.
Para cualquier par de elementos de a $z, w \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$ tenemos $N(zw) = N(z)N(w)$. Esto no es difícil de probar, acaba de hacer el cálculo.
Así que, digamos que tenemos algunos $x + \sqrt{3}y = z \in \mathbb{Z}[\sqrt{3}]$$N(z) = x^2 -3y^2 = 1$. Es fácil comprobar que $(2, 1)$ es también una solución, y por lo tanto,$N(2 + \sqrt{3}) = 1$.
Ahora tenemos $1 = N(z)N(2 + \sqrt{3}) = N((x + \sqrt{3}y)(2 + \sqrt{3})) = N((2x+3y) + \sqrt{3}(x + 2y))$.
Pero $N((2x+3y) + \sqrt{3}(x + 2y)) = 1$ significa que $(2x+3y, x + 2y)$ es una solución.
Si sus valores iniciales de x y y son ambos positivos, entonces la solución que generan debe ser mayor, por lo que cada nueva solución debe ser distinta.
Veo un par de problemas que puede llegar a ser piedras de tropiezo. En primer lugar usted podría haber tenido problemas de verificación de la solución de $\,(\bar x,\bar y) = (2x+3y,x+\color{#c00}3y)\,$ porque es incorrecta: $\color{#c00}3$ debe $2.\,$ Ahora uno puede comprobar que $\,(\bar x,\bar y)\,$ es también una solución de no usar más que un simple entero aritmética
$$\begin{eqnarray} \bar x^2 &=&\quad\ (2x+3y)^2 &=&\,\ \ \ 4x^2\,+\ 9y^2 +\, 12xy\\ -3\,\bar y^2&=&-3(x^2+2y)^2 &=&\, -3x^2-12y^2-12xy \\ \hline \bar x ^2 -\, 3\bar y^2&& &=& \ \ \ \ x^2\ -\ 3y^2 =\, 1 \end{eqnarray}\qquad\qquad $$
Aunque algunas de las explicaciones de la génesis de esta composición ley en el espacio de la solución pueden utilizar las ideas que aún no has aprendido (como el multiplicativity de la norma mapa en cuadrática campos), la anterior prueba directa de que $\,(\bar x, \bar y)\,$ es una solución no requiere de tales métodos. Más bien, se trata de un simple cálculo utilizando sólo aritmética de enteros.
Dijo composición ley es un caso especial de que el hecho de que uno puede componer (multiplicar) cualquiera de las dos soluciones mediante el uso de la Brahmagupta–Fibonacci identidad de abajo. Arriba está el caso especial $\,a,b = 2,1.$
$$\begin{eqnarray} (a^2-3b^2)(x^2-3y^2) &\,=\,& (ax+3by)^2- 3(ay+bx)^2\\ (a+b\sqrt{3})(x+y\sqrt{3})\, &\,=\,& \ \,ax+3by\ \ +\,\ \ (ay+bx)\sqrt{3} \end{eqnarray}\qquad$$
De nuevo, a pesar de que la composición de la ley puede ser intuitivamente obtiene tomando la norma de la cuadrática enteros enumeran a continuación, puede comprobar el número entero de identidad por encima de ella utilizando sólo entero aritmética - independiente de la "irracional" de los números, cuadrática campos, normas, etc.
La forma en que pienso acerca de la ecuación de Pell es como este:
$x^2 - 3y^2$ es un número entero y no puede ser $0$ porque $\sqrt 3$ es irracional. Lo más cercano que puede ser $0$ $1$ (o $-1$, la otra variante de la ecuación de Pell).
Esto nos lleva a la búsqueda de buenas aproximaciones racionales para $\sqrt 3$. Estos podemos obtener a partir de la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt 3$.
Toda la solución de la ecuación de Pell provienen de la continuación de la fracción de expansión. Ahora, ya que la expansión es el periódico para $\sqrt d$ (general $d$ en la ecuación de Pell), podemos derivar una fórmula para las soluciones.
En algebraicas número teórico de los términos, esto significa que hay infinitamente muchas unidades en $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$. Soy casi un experto en la teoría algebraica de números (sólo sé que no sé nada), pero sí sé cómo obtener este resultado usando sus métodos básicos (que normalmente se encuentra en los dos o tres primeros capítulos de la mayoría de la teoría algebraica de números libros de texto).
Este limitado conocimiento del tema me dan ganas de empezar con $x = 2$, $y = 1$ como un prototipo de la solución en lugar de $x = 1$, $y = 0$. Compruebe que $2^2 - 3 \times 1^2 = 1$. Compruebe también que el $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1$.
¿Y si en vez de multiplicar $(2 + \sqrt{3})$ $(2 - \sqrt{3})$ multiplicamos por sí mismo? Llegamos $(2 + \sqrt{3})^2 = 7 + 4\sqrt{3}$. Observe que $7^2 - 3 \times 4^2 = 1$, y también aviso que $(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 1$. Y, a continuación,$(2 + \sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 26 + 15\sqrt{3}$, $26^2 - 3 \times 15^2 = 1$, $(26 - 15\sqrt{3})(26 + 15\sqrt{3}) = 1$.
Lo que está pasando aquí es que $2 + \sqrt{3}$ es una unidad con una norma de 1. La norma es multiplicativa, por lo que si multiplicamos un número con una norma de 1 por cualquier otro número que también tiene una norma de 1, el producto también tiene una norma de 1. Y ya que esta multiplicación se puede llevar en infinitamente, esto significa que podemos obtener como muchos números con una norma de 1 como se puede calcular.
Pero... es computing $(2 + \sqrt{3})^n = x + y\sqrt{3}$ la forma más eficiente para obtener más pares de $x$$y$? ¿Hay algún tipo de patrón que podría aprovechar para obtener nuevos valores de $x$ $y$ sin tener que invocar los números irracionales? Hasta el momento hemos obtenido los primeros cuatro valores de dos secuencias: 1, 2, 7, 26; y 0, 1, 4, 15.
Podemos averiguar un evidente patrón de estas dos secuencias? $x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_n = 4x_{n - 1} - x_{n - 2}$; y $y_1 = 0$, $y_1 = 1$, $y_n = 4y_{n - 1} - y_{n - 2}$. Tal vez esto funciona, tal vez no funciona, pero a pesar de que sería mejor averiguar algo en el que el $x$ $y$ son dependientes los unos de los otros. Con ensayo y error, y un poco de ingenio, podemos averiguar $x_n = 2x_{n - 1} + 3y_{n - 1}$$y = x_{n - 1} + 2y_{n - 1}$.
Así, por ejemplo, conectar $x_4 = 26$ $y_4 = 15$ nos da $x_5 = 97$$y_5 = 56$. Vamos a comprobar que esto funciona correctamente: $97^2 - 3 \times 56^2 = 9409 - 3 \times 3136 = 9409 - 9408 = 1$; $(97 - 56\sqrt{3})(97 + 56\sqrt{3}) = 1$.
Si sigues leyendo, me gustaría lanzar un par más de la teoría algebraica de números de conceptos. Una unidad fundamental (lo que podría ser llamado el "prototipo" de la unidad) puede ser adecuada o inadecuada, lo que significa que su norma es de 1 o $-1$. En $\mathbb{Z}[\sqrt{3}]$, que es adecuado. En $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$, es incorrecto: $(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = -1$. Esto nos dice que tanto $x^2 - 2y^2 = 1$ $2y^2 - x^2 = 1$ tiene una infinidad de soluciones en números enteros. Pero, dependiendo de cómo ir sobre él, soluciones de una ecuación complementaría con soluciones para el otro.
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