ampliación de Zariski conjuntos cerrados

Question

Deje $U \hookrightarrow X$ ser una incrustación de variedades algebraicas tales que $U$ es denso en $X$. Entonces cualquier Zariski subconjunto cerrado de $U$ es una traza de un Zariski subconjunto cerrado de $X$.

Se me escapa el porqué de un hecho similar no es cierto para los complejos colectores.

De nuevo, deje $U \hookrightarrow X$ ser una incrustación de los complejos colectores tal que $U$ es denso en $X$ y deje $Z$ ser una analítica subconjunto de $X$. A continuación, $Z$ no es necesariamente una intersección $Z' \cap U$ donde $Z'$ es una analítica subconjunto de $X$. Por ejemplo, si $X=\mathbb{P}^2$, $U=\mathbb{A}^2$ y $Z$ es el conjunto definido por la ecuación de $y=exp(x)$, a continuación, Chow del teorema no puede ser un rastro de una analítica subconjunto de $\mathbb{P}^2$ desde todos los subconjuntos algebraicos.

¿Cuál es la razón que hace que la extensión de una analítica subconjunto no? Es posible formular un criterio general?

Answer 1

El más útil en el criterio general para la ampliación de la analítica de subconjuntos de un subconjunto abierto de un colector para el conjunto del colector es :

Teorema de Remmert-Stein
Deje $X$ ser una analítica en el espacio (por ejemplo, un complejo de colector), $Z\subset X$ cerrado analítica subespacio de dimensión $\lt n$ $A\subset U$ puramente $n$-dimensiones cerrado analítica subconjunto del conjunto abierto $U=X\setminus Z\subset X.$
A continuación el cierre de la $\bar A\subset X$ es una analítica subespacio de $X$.

Así que la "razón" por la falta de extensión en su ejemplo de ello es que su $Z$ es demasiado grande: es una línea de dimensión uno y la analítica subconjunto , la gráfica de la función exponencial, tiene dimensión uno, por lo que su cierre en $\mathbb P^2 $ ya no es analítica.
Sin embargo, si se elimina un punto de $Q\in \mathbb P^2 $, entonces cualquier analítica de la curva de $C\subset \mathbb P^2 \setminus \lbrace Q \rbrace$ tendrá analítica (incluso algebraicas) cierre de $\bar C\subset \mathbb P^2$

Editar
En un comentario más abajo Dima pregunta acerca de la extensión de una analítica subconjunto de $A\subset \mathbb A^2(\mathbb C)$$\mathbb P^2(\mathbb C)$, una situación en la que Remmert-Stein del teorema no se aplica .
Por Chow del teorema $\bar A \subset \mathbb P^2 $ es analítica iff es algebraica, y que en caso de $A\subset \mathbb A^2$ es algebraicas demasiado, por lo que, finalmente, $A$ es extensible iff es algebraico.
El más simple obstrucción contra algebraicity de $A$ podría ser que una línea en $\mathbb A^2$ no figura en $A$ intersecta $A$ sólo en un número finito de puntos.
En Dima ejemplo de donde $A$ está definido por $y=exp(x)$ , la línea de $y=1$ intersecta $A$ en una infinidad de puntos, que es una obstrucción en contra de $A$ algebraicas y así se explica por qué $A$ no es extensible a $\mathbb P^2$