¿Cómo son los elementales de aritmética definida?

Question

En el libro Principios de Análisis Matemático por Rudin, he leído que "a < b" se define de esta manera: si b - a es positivo, entonces a < b o b > a. A continuación, algunas de las preguntas que surgieron a mí: sabemos que "menos" es una operación inversa de "plus" ya que a - b = a + (-b), pero, ¿cómo es el elemental de la aritmética "a + b" se define, ¿y la "a * b"? Hay diferencias entre las definiciones con respecto a la cifra real del sistema, número racional del sistema, y el número natural sistema?

Answer 1

^{"Dios nos dio los números enteros.
Todo lo demás es obra del hombre."
Leopold Kronecker}

Un bosquejo de las ideas:

La adición y la multiplicación para $a, b \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ puede ser definido por el uso de secuencias de $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$$\mathbb{Q}$. $$ \begin{array}[llllll]\\ a+b&=\lim\limits_{n \to \infty} (a_n+b_n), & a=\lim\limits_{n \to \infty} a_n, & a_n \in \mathbb{Q} & n \in \mathbb{N}\\ a \cdot b&=\lim\limits_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n), & b=\lim\limits_{n \to \infty} b_n, & b_n \in \mathbb{Q} \\ \tag{1} \end{array} $$

Esto funciona porque el limes de la suma es independiente de las secuencias seleccionadas. Así, además de en $\mathbb{R}$ puede ser reducido a la suma de $\mathbb{Q}$.

Pero la suma y la multiplicación en $\mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}$ puede ser reducido a la suma de $\mathbb{Z}$ $$ \begin{array}[llllll]\\ a+b&=\frac{a_1b_2+b_1a_2}{a_2b_2}, & a=\frac{a_1}{a_2}, & a_n \in \mathbb{Z} & n \in \{1,2\} \\ a \cdot b&=\frac{a_1 \cdot b_1}{a_2 \cdot b_2}, & b=\frac{b_1}{b_2}, & b_n \in \mathbb{Z} \end{de la matriz} \\ \etiqueta{2} $$

Y de la suma y la multiplicación en la $\mathbb{Z}$ puede ser reducido a la multiplicación y la suma de $\mathbb{N}$. $$ \begin{array}[llllll]\\ a+b&=(a_1+b_1)-(a_2+b_2), & a=a_1-a_2, & a_n \in \mathbb{N} & n \in \{1,2\} \\ a \cdot b&=(a_1 b_1 + a_2 b_2) - (a_1 b_2 + a_2 b_1), & b=b_1-b_2, & b_n \in \mathbb{N} \end{de la matriz} \\ \etiqueta{3} $$

Todas estas definiciones son independientes de la selección de $a_n$ $b_n$ como mucho, ya que cumplen las especificaciones requeridas en cuanto a $a$$b$.

La multiplicación en $\mathbb{N}$ puede ser reducido a la suma de $\mathbb{N}$ $$ \begin{array}[llllll]\\ 1 \cdot b&=b, & a, b \in \mathbb{N} & \\ a \cdot b&=(a-1)b +b & \\ \end{de la matriz} \\ \etiqueta{4} $$

Además de en $\mathbb{N}$ puede ser reducido a contar ($\text{successor}(n)$ de un número $n \in \mathbb{N}$ es el número siguiente a $n$):

$$ \begin{array}[llllll]\\0+b&=b & a, b \in \mathbb{N} & \\ a+b&=\text{successor}((a-1)+b) \end{de la matriz} \\ \etiqueta{5} $$