curva normal racional de grado 3 no escrita por intersección de dos cuadriculas

Question

Estoy aprendiendo sobre curvas normales racionales de grado n. Y el libro dice que las curvas normales racionales de grado 3 no se pueden escribir por intersección de dos cuádricas. Puedo visualizar la situación en mi cabeza, pero no puedo formular un argumento riguroso... ¿Alguien podría ayudarme?

Answer 1

Si una de las cuádricas tiene rango máximo $4$ (o mejor una de las cuádricas del lápiz, lo que de hecho es cierto), entonces es proyectivamente equivalente a la variedad Segre. En este caso, la otra cuádrica corta una curva de bidegree $(2, 2)$ en $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ . Como el cúbico retorcido tiene bidegree $(1, 2)$ se deduce que obtenemos no sólo la cúbica torcida, sino una línea, algo de bidegree $(1, 0)$ para que la unión tenga un bidegree $(2, 2)$ . Ahora, la línea es una fibra de una de las reglas, y una fibra general se encuentra con la cúbica en dos puntos, ya que un polinomio cuadrático tiene dos raíces en general.