Cada campo finito es un residuo de campo de un campo de número

Question

He leído que para cualquier campo finito $\mathbb{F}_q$ existe un campo de número de $F$, y algunos de los mejores ideales $P$ $\mathcal{O}_F$ tal que $$\mathbb{F}_q \cong \mathcal{O}_F / P.$$ El anillo de enteros de $F$ se denota por a $\mathcal{O}_F$. Es este hecho muy conocido? He tenido un poco de la Teoría Algebraica de números, pero nunca encontrado esto.

(Editado)

Answer 1

Hay un montón de hechos de este tipo que son bien conocidos para algebraica de números teóricos, pero no puede ser en su libro de cuentas. El tema general de que tu pregunta es un ejemplo es el de la "global de la realización de una determinada situación local", es decir, ¿puede un local determinada situación (por ejemplo, la extensión de los campos locales, o algo análogo) se obtienen a partir de un apropiado contexto global (por ejemplo, una extensión de los campos de número) por completar.

En su caso particular, probablemente hay muchas maneras de responder a la pregunta, pero aquí es un enfoque, que es bastante flexible.

Comience con su extensión finita $\mathbb F_q$$\mathbb F_p$. Ahora este puede ser obtenido a partir de una extensión de los campos locales, es decir, podemos encontrar una extensión $K$ $\mathbb Q_p$ cuyo residuo de campo es igual a $\mathbb F_q$. E. g. si $q = p^f$, entonces podemos tomar $K$ a ser el unramified extensión de $\mathbb Q_p$ grado $f$.

Ahora bien, si escribimos $K = \mathbb Q_p(\alpha),$ deje $f(x)$ ser el polinomio mínimo de $\alpha$$\mathbb Q_p$. Desde $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb Q_p$, podemos aproximar $f(x)$ tan de cerca como nos gusta por un elemento $g(x) \in \mathbb Q[x]$. Si asumimos que el $g$ es lo suficientemente cerca como para $f$, $g$ también tendrá una raíz de $\beta$$K$, que está muy cerca de a $\alpha$ (en particular, por lo que $K = \mathbb Q_p(\beta)$.) (Esta es una versión de Krasner del lema; de hecho se puede deducir bastante directamente desde Hensel del lexema.)

Ahora si vamos a $F = \mathbb Q(\beta)$ $F$ es un campo de número (desde $\beta$ es la raíz de un polinomio en $\mathbb Q$), y la incrustación de $F = \mathbb Q(\beta)\hookrightarrow K = \mathbb Q_p(\beta)$, que tan denso la imagen corresponde a un primer ideal $P$ $\mathcal O_F$ tal que $F_P = K$. En particular, el residuo campo de $P$ es igual al residuo de campo de $K$, es decir,$\mathbb F_q$.

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Si la elegimos $K$ a ser unramified $\mathbb Q_p$ grado $f$, luego podemos optar $\alpha = \zeta$ $(p^f-1)$st raíz de $1$, que ya es algebraico sobre $\mathbb Q$. Por lo tanto podemos tomar $\alpha = \beta = \zeta$, y así podemos establecer $F = \mathbb Q(\zeta)$, el campo generado por $(p^f-1)$st raíces de la unidad. (Así, tenemos básicamente la misma respuesta que la indicada por el Cam McLeman.)

Nota, sin embargo, que el resultado anterior demuestra algo más fuerte --- es decir, no sólo que cualquier finito extensión de $\mathbb F_p$ puede obtenerse como el residuo de campo de un alojamiento ideal en un campo de número, pero que ninguna extensión finita de $\mathbb Q_p$ puede ser obtenida como la realización en un primer ideal de un campo de número.

Furhermore, estos Krasner-tipo de argumentos son muy flexibles y pueden ser generalizados en varias direcciones. Adecuadamente reforzados versiones juegan un papel importante en la investigación actual relacionada con representaciones de Galois y automorphic formas.

Answer 2

Escribir $q=p^f$ para algunos prime $p$, y deje $\ell$ ser cualquier primer dividiendo $p^f-1$. Deje $F=\mathbb{Q}(\zeta_{\ell})$. La inercia grado de $p$ en esta extensión es $f$, y así si $\mathfrak{p}$ denota una flor de $F$ sobre $p$,$\mathbb{Z}[\zeta_{\ell}]/\mathfrak{p}\cong \mathbb{F}_q$.

Edit: Esto no funciona, por las razones que menciono en los comentarios, y la verdad (para mi sorpresa) parece algo que no se puede reparar. Si $q=49=7^2$, entonces la única primos $\ell$ dividiendo $p^f-1$$\ell=2$$\ell=3$, y 7 es de orden 2 mod ninguno de los dos. Así que parece que $\mathbb{F}_{49}$ no es el residuo de campo de cualquier cyclotomic campo. (Por supuesto, $\mathbb{F}_{49}$ sí es fácilmente obtenida por una ecuación cuadrática de campo).

Answer 3

El siguiente más general resultado fue demostrado (en un modo más general) por Hasse (Zwei Existenztheoreme en der Theorie der algebraischen Zahlkörper; Matemáticas. Ann. 1925): Vamos a $k$ ser un campo de número, deje $P$ denotar un alojamiento ideal en $k$, y se supone que $(e_1,f_1)$, . . . , $(e_s,f_s)$ son pares de números naturales $\ge 1$$\sum e_j f_j = n$. Luego existen infinidad de extensiones $K/k$ con grado de $n$ tal que $P$ se descompone como $$ P O_K = Q_1^{e_1} \cdots Q_s^{e_s}, $$ donde cada una de las $Q_j$ ha relativa inercia grado $f_i$.