Un juego de Ejercicio en Artin del Álgebra (Capítulo 2 M. 13)

Question

Me he encontrado un interesante problema en el Capítulo 2 para Artin del Álgebra (2ª Ed) en la sección Miscelánea de que no he sido capaz de averiguar. El texto del problema que se cita a continuación.

M. 13 (un juego) a La posición de partida es el punto de $(1,1)$, y permisible de "mover" reemplaza un punto de $(a,b)$ por uno de los puntos de $(a+b, b)$ o $(a, a+b)$. De modo que la posición después de que el primer movimiento va a ser $(2,1)$ o $(1,2)$. Determinar los puntos que se pueden alcanzar.

He escrito un pequeño script en python para generar y marca el punto y vi el patrón en la imagen, pero ni idea de cómo venir para arriba con una descripción general de los puntos.

enlace al código está aquí.

Agradezco una solución o un enlace a una solución.

Answer 1

El juego se lleva a través de todos los pares de $(a,b)$ tal que $a ,b > 0 $$\gcd(a,b)=1$.

Prueba: Tome $A$ ser el conjunto de todos los pares que recibimos del juego.

En primer lugar demostrar que si $(a,b) \in A$$\gcd(a,b)=1$: es la continuación de la forma algoritmo de Euclides.

Ahora por inducción nos muestran que si $a,b > 0$$\gcd(a,b)=1$$(a,b) \in A$: sabemos que esto es cierto para $a,b<2$, ahora bien, si esto es cierto para $a,b<n$ esto es cierto para $a=n$ o $b=n$, porque por ejemplo si $2 \leq a=n$$1 \leq b<n$, luego por hipótesis de inducción sabemos $(a-b,b)$ $A$ y por la regla de juego, llegamos a la conclusión de $(a,b) \in A$.

Sugerencia para los Patrones en la imagen:
Para cada irreductible $\frac{m}{n}$ tenemos infinidad de $k$ tal que $\frac{mk+1}{nk}$ es irreductible.
Prueba: Set $k=an, \quad a\in \mathbb N$