Calcular la traza de la siguiente automorphism de la curva elíptica $y^2 = x^3+x$

Question

Considere la posibilidad de la curva elíptica $E$ definido por $y^2z= x^3 +xz^2$ más de una clausura algebraica $\overline{\mathbf{Q}}$$\mathbf{Q}$. Considerar el endomorfismo $f:E\to E$$(x:y:z)\mapsto (-x:iy:z)$. Tenga en cuenta que $f$ tiene exactamente dos puntos fijos: $(0:0:1)$$(0:1:0)$.

¿Cómo puedo calcular la traza de $f$ el (etale) de $E$? Más precisamente, hay tres grupos cohomology: $H^0$, $H^1$ y $H^2$.

Si estoy en lo correcto, $H^0$ $H^2$ $1$- dimensional. Así, en cada caso, la acción está dada por la multiplicación de un número. ¿Cuáles son estos números? (Tenga en cuenta que $f$ es un automorphism. Tal vez esto ayuda?)

El $H^1$ es de dos dimensiones. ¿Cómo puedo encontrar la acción de la $f$$H^1$. (Es dada por una matriz de dos por dos.)

Mi motivación para esta pregunta es la traza de la fórmula. Quiero ver ejemplos! Mi plan de trabajo más ejemplos con CM curvas elípticas. Entonces, tal vez algunos de los más altos género curvas y, finalmente, algunos de mayores dimensiones variedades.

Answer 1

Un endomorfismo siempre actúa trivialmente en $H^0$, y en $H^2$ actúa como la multiplicación por el grado, por lo tanto de nuevo trivialmente en su caso.

Para el cálculo de la acción en $H^1$, por supuesto, usted puede utilizar la traza de la fórmula, junto con su punto fijo en el cálculo, a ver que traza es igual a cero.
Desde $H^2 = \wedge^2 H^1$, el factor determinante en $H^1$ es la anteriormente calculada acción en $H^2$. Por lo tanto $f$ actúa en $H^1$ a través de una matriz de orden dividiendo $4$, traza cero, y determinante $1$. Este pines de abajo bastante bien.

Por supuesto, usted como para el cálculo de la acción en $H^1$ en un a priori de laforma, así como para verificar el seguimiento de la fórmula.

Para este fin, tenga en cuenta que $f^2 = [-1]$, por lo que su curva elíptica $E$ está dotado de una acción de $\mathbb Z[i]$. El $\ell$-ádico $H^1$ es entonces un módulo de rango uno más de $\mathbb Z_{\ell}[i]$. (Véase la discusión de la endomorfismo de acción en $\ell$-ádico Tate módulos de Silverman para una prueba de la análogos hecho para el $\ell$-ádico de Tate-módulo, y tenga en cuenta que $H^1$ es dual a la $\ell$-ádico Tate módulo).

Así la acción de $f$ $H^1$ tiene la misma matriz, como la acción de $i$ en $\mathbb Z_{\ell}[i]$ ,$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.$, con Lo que obtenemos una prueba directa que actúa a través de una matriz de determinante $1$ y traza $0$.

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Más generalmente, si $E$ CM $\mathcal O$, $\ell$- ádico $H^1$ es gratuita a través de $\mathbb Z_{\ell}\otimes_{\mathbb Z} \mathcal O$. Por lo tanto la característica polynmomial de un elemento de $\alpha$ actuando en $H^1$ es el mismo como el grado $2$ monic polinomio sobre $\mathbb Z$ que satisface, y su huella en $H^1$ es la misma que la de su traza como un entero algebraico en $\mathcal O$. Esto se discute en el capítulo sobre endomorphisms en Silverman, y es un ingrediente básico en la teoría de la CM curvas elípticas (como se discutió por ejemplo, en Silverman 2).