Divisor de derecho cero inversible e izquierda en anillos de matriz sobre un anillo comutativo

Question

Si un anillo $R$ es conmutativo, no entiendo por qué si $A, B \in R^{n \times n}$, $AB=1$ significa que el $BA=1$, es decir, $R^{n \times n}$ es Dedekind finito.

Argumentando con determinante parece ser incorrecto, aunque $\det(AB)=\det(BA ) =1$ pero no significa necesariamente que $BA =1$.

¿Y todo queda cero divisor también un divisor adecuado?

Answer 1

Lema. Cada sobreyectiva endomorphisme $f : M \to M$ del #%-módulo finitamente generado $R$% #% es un isomorfismo.

Prueba: $M$ se convierte en un $M$ módulo, donde actúa $R[x]$ $x$. Por supuesto, $f$. Lema de Nakayama implica que hay un $M=xM$ tal que $p \in R[x]$. Esto quiere decir $(1-px)M=0$. Por lo tanto, $\mathrm{id}=p(f) f$ es inyectiva. $f$

Corolario: si $\square$ son endomorphisms de un finito generado $f,g$-módulo de satisfacción $R$, entonces también $fg=\mathrm{id}$.

Answer 2

Creo que discutir con las obras determinantes, como $1 = A B$ $1 = \det(A B) = \det(A) \det(B)$, $\det(A) \in R$ es invertible, y $A$ es.

PS Creo que este argumento está implícito en el comentario @YACP el post original.

Answer 3

Aquí es un poco diferente de argumento.

El cartel del argumento inicial fue mediante el uso de determinantes, que como se dijo anteriormente, implica que tanto $\det(A), \det(B) \in R^\times.$ por lo tanto, ambas matrices tienen bilateral inversos, es decir, $\operatorname{adj}(A^T) \det(A)^{-1}$ y resp. para $B$ - recordemos que la fórmula $$A\operatorname{adj}(A^T)= \operatorname{adj}(A^T)A= (\det A) I$$ es universal.

Ahora, para los dos mapas (de conjuntos) $f:S\to T$ $g:T\to S$ si $f$ o $g$ es bijective y $fg=id_T$, entonces claramente $gf=id_S.$ Esta se asienta la primera pregunta.

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Cero-divisor pregunta: Supongamos que el $AB=0$ $A, B \neq 0$ matrices cuadradas; a continuación, $\det(A) \det(B)=0.$ Será una matriz cuadrada $C\neq 0$ tal que $CA=0$

Si $\det(A)$ es un divisor de cero (y por definición, no es cero), hemos terminado, ya que para $0\neq b\in R$ satisfacción $\det(A)b=0$, la matriz $C=\operatorname{adj}(A^T)b$ está por encima de cero divisor de ambos lados!

El caso todavía no he trabajado es el siguiente. Si $\det(A)=0$$\operatorname{adj}(A^T)\neq 0$, $C=\operatorname{adj}(A^T)$ satisface $CA=AC=0$, pero lo que si $\operatorname{adj}(A)=0$?

Así, en el caso que sigue (por el momento) es al $\operatorname{adj}(A)=0$, que es equivalente a la condición de $\Lambda^{n-1}A=0$ (exterior del producto). Volveremos más tarde.