Terence Tao en su brillante libro Resolución de problemas matemáticos: una perspectiva personal estados (página 17):
Es muy probable (¡aunque no está demostrado!) que la suma de dígitos de $2^{n}$ es aproximadamente $(4.5 \log_{10} 2)n1.355n$ para grandes $n$ .
Este problema me parece muy interesante. ¿Sabe algo más sobre este problema? ¿Cuál es su formulación exacta (sustituyendo la palabra aproximadamente por un límite)? ¿Aún no está demostrado?
Sólo encontré este que no me satisface lo suficiente.
Muchas gracias por vuestras respuestas y ¡que tengáis una buena semana!
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Parece intrínsecamente ilógico, como n tiende hacia el infinito, la cantidad de dígitos aumenta en más de 10 cada vez, lo que significa que con el tiempo será mucho más que 1,355, a menos que haya alguna prueba ilógica dudosa
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Intuitivamente, esto no es más que la afirmación de que los dígitos son uniformemente aleatorios. Al fin y al cabo, el valor esperado de un dígito seleccionado al azar es $\frac 92=4.5$ . En $2^n$ tiene alrededor de $n\log_{10}2$ dígitos, el resultado se deduce enseguida. Por supuesto, no es ni remotamente obvio que los dígitos de $2^n$ son uniformemente aleatorios. Después de todo, el lugar de las unidades no es uniforme (¡no puede ser impar!) ni los dígitos iniciales pueden ser uniformes.
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A menudo puede encontrar más información buscando la secuencia en la OEIS. En este caso $2,4,8,7,5,10,11,13$ (por ejemplo $2+5+6=13$ para $2^8$ ) conduce a oeis.org/A001370 que ofrece algunas referencias.
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"[ ] Preguntó si el número $0.248163264128 ...$ formado de la secuencia creciente de potencias de 2 es normal a base diez. Esta cuestión sigue abierta", en Yann Bugeaud, Distribución módulo uno y aproximación diofantina , §4.7, p. 97.
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@lulu: Creo que tu comentario debería ser la respuesta a esta pregunta.
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@RossMillikan Debidamente publicado.
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@lulu, tal vez valga la pena señalar que aunque el dígito uno, que cae en el ciclo de repetición $2,4,8,6$ de período $4$ no es uniforme, la cifra de las decenas, que cae en un ciclo repetitivo de longitud $20$ , es uniforme (dos de cada dígito). También lo es el dígito de las centenas, que cae en un ciclo repetitivo de longitud $100$ con exactamente diez de cada dígito. No sé si esto se mantiene, pero es curioso. (Tampoco estaría de más que alguien comprobara mis cuentas).
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@BarryCipra Interesante. Sorprendente... merece la pena echarle un vistazo.
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Gracias a IBM Tú has hecho mi pregunta, Watson. Lulu también me ayudó a entender la cuestión.