Ayudar a resolver esta integral $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2 e^{-x^2/2}}{a+bx^2}dx$

Question

Por lo tanto, tengo una integral en la siguiente forma:

ps

dónde y $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2 e^{-x^2/2}}{a+bx^2}dx$.

He intentado sustituir$b<0$ (después de cambiar el límite inferior a 0 y multiplicar por 2 por supuesto) y$a\in\mathbb{R}$, pero hay esa raíz cuadrada molestos en el denominador ...

¿Alguien con mejores ideas? ¿Es esta cosa incluso soluble?

Answer 1

Considerar la función %#% $ #% integración por las piezas da $$\mathcal{I}(a)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{a}{a^2+x^2}e^{-(a^2+x^2)}dx.$ $ $$\mathcal{I}(a)=\left[\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) e^{-(a^2+x^2)}\right]_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)(-2x)e^{-(a^2+x^2)}dx$ $ ahora distinguir $$=\int_{-\infty}^{+\infty}\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)2xe^{-(a^2+x^2)}dx.$ con respecto a los $\mathcal{I}$ y obtener $ #% de $a$% #% $ $$\frac{d\,\mathcal{I}}{da}=\int_{-\infty}^{+\infty}\left[-\frac{x}{a^2+x^2}\right]2xe^{-(a^2+x^2)}+\tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\left[(-2a)2xe^{-(a^2+x^2)}\right]dx$ $ $$=-\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{2x^2}{a^2+x^2}e^{-(a^2+x^2)}dx-2a\mathcal{I}(a) $ $ equipado con el % de hecho $$=-\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{2x^2}{a^2+x^2}+2a\frac{a}{a^2+x^2}\right)e^{-(a^2+x^2)}dx $, llegamos a $ de $$=-2\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x^2+a^2)}dx=-2\sqrt{\pi}e^{-a^2}.$ $\lim\limits_{a\to\infty}\mathcal{I}(a)=0$ Dónde está la función de error complementaria. Tenga en cuenta que esto coincide como $$\mathcal{I}(a)=\int_{+\infty}^a -2\sqrt{\pi}e^{-u^2}du= \pi \,\mathrm{erfc}(a),$ debido a distribución que $\mathrm{erfc}$. Esto implica %#% $ #%

Por último, observar $a\to0$ $ $a/(a^2+x^2)\to\delta(x)$ $ $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^2+a}e^{-x^2}dx=\pi e^a\frac{\mathrm{erfc}\left(\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}}.$ $

Answer 2

% Positivo $a$y negativa $b$ la integral es divergente. Sin embargo, es posible considerar el valor principal, por qué mathematica da $$ \frac{\sqrt{\pi} \left (2 \sqrt{-a b} F\left (\sqrt {-\frac {a} {2b}} \right) + \sqrt {2} b\right)} {b ^ 2} $$ $F\;$ Dónde está el Dawson integral.