¿Dadas $A^2+cA+cI=0$, cómo encontrar la inversa de $A+(c-1)I$?

Question

Supongamos que una matriz cuadrada a $A$ tal que $A^2+cA+cI=0$ todos los $c \in \mathbb{Z}$. ¿Cómo puedo demostrar que $A+(c-1)I$ es invertible y encuentre su inversa?

Me comenzó de esta manera: $A+(c-1)I = A+cI-I$

A continuación, $(A+cI-I)(d_1A+d_2I)=I$ donde $d_1, d_2 \in \mathbb{Z}$.

Expanda y se convierte en: $d_1A^2+d_1cA-d_1A+d_2A+(c-1)d_2I=I$

$\Rightarrow (c-1)d_2=1 \;\;\; \; d_1A^2+d_1cA-d_1A+d_2A=0$

$\Rightarrow d_2=\frac{1}{(c-1)}$

Continuar de $d_1A^2+d_1cA-d_1A+d_2A=0$, después de algún tipo de manipulación, conseguí $d_1(A^2+cA+cI)-d_1cI-d_1A+d_2A=0$.

Dado que el $A^2+cA+cI=0$,

$d_1(A^2+cA+cI)-d_1cI-d_1A+d_2A=0$

$\Rightarrow -d_1cI-d_1A+d_2A=0$

$\Rightarrow -d_1cI-d_1A+\frac{1}{c-1}=0$

$\Rightarrow -d_1cI-d_1A=-\frac{1}{c-1}$

$\Rightarrow d_1(cI+)=\frac{1}{c-1}$

En este punto, ya no sé si $A$ es invertible, sin embargo, no puedo hacerlo como $d_1=\frac{1}{c-1}\frac{A}{(cI+A)}$.

Incluso si yo hice esto, yo todavía no puede encontrar un valor de $d_1$ $d_2$ encontrar la inversa de a $A+(c-1)I$. ¿Cómo debo seguir desde aquí?

Answer 1

En lugar de todo esto, vuelva a escribir su partida ecuación de $A^2+(c-1)A+A+(c-1)I=-I$. A continuación los factores del lado izquierdo...

Pero si usted a favor de un enfoque más sistemático también se puede proceder como lo hacen hasta $$d_1A^2+d_1cA-d_1A+d_2A+(c-1)d_2I=I$$ En este punto se debe decidir la $(c-1)d_2=1$, pero que es demasiado temprano! Primero deshacerse de la $A^2$$A^2=-c(A+I)$, para obtener $$-d_1c(A+I)+d_1cA - d_1A + d_2A + (c-1)d_2I = I$$ que se simplifica a $$(d_1c-d_1+d_2-d_1c)A + ((c-1)d_2-d_1c-1)I = 0$$ $$(d_2-d_1)A + ((c-1)d_2-cd_1-1)I$$ Ahora el conjunto de ambos coeficientes a 0. Esto le da inmediatamente $d_1=d_2$, y luego tenemos que resolver $$(c-1)d-cd-1=0$$ en el que el $cd$'s cancelar y darnos $d=-1$. Por lo que el buscaba inversa es $-A-I$.

Answer 2

Quizás una manera más transparente: "cambio de variables". Que % o $B = A + (c-1) I$ $A = B - (c-1) I$. Entonces $0 = A^2 + c A + c I = (B - (c-1) I)^2 + c (B - (c-1) I) + c I= B^2 + (2-c) B + I$. Multiplicar por $B^{-1}$ a $B + (2-c) I + B^{-1} = 0$, es decir, $B^{-1} = -B + (c-2) I$ o $(A + (c-1) I)^{-1} = -A - (c-1) I + (c-2) I = -A - I$.

Usted puede encontrar un poco chunga para multiplicar por $B^{-1}$ antes de saber que $B^{-1}$ existe, pero una vez que tengas el resultado $-A-I$ es fácil de comprobar que esto funciona al multiplicar por $A + (c-1) I$.

Answer 3

NUEVA RESPUESTA. En el "largo" de la división de $$X^2+cX+c=(X+c-1)(X+1)+1,$$ reemplace$X$$A$: $$0=A^2+cA+cI=\Big(A+(c-1)I\Big)\Big(A+I\Big)+I,$$ $$\Big(A+(c-1)I\Big)^{-1}=-A-I.$$

[EDITAR. Me estoy dando cuenta de que esta respuesta es la misma que user1551, que lo ha publicado antes. Lo siento...]

RESPUESTA ANTERIOR. Deje $A$ $n$ $n$ matriz con coeficientes en un campo de $K$, vamos a $f\in K[X]$ ser un polinomio aniquilando $A$, y deje $g\in K[X]$ ser cualquier polinomio.

Si $g$ es el primer a$f$, $g(A)$ es invertible, y el inverso de a $g(A)$ está dado por $h(A)$ donde $h\in K[X]$ es una inversa de a $g$ mod $f$.

Por otra parte, hay una ormula cerrada para un $h$ (ver esta respuesta).

Answer 4

$$ \begin{eqnarray*} x^2+cx+c = \left[x+(c-1)\right](x+1)+1\\ \therefore 0 = A^2+cA+cI = \left[A+(c-1)I\right](A+I)+I\\ \therefore \left[A+(c-1)I\right](A+I)=-I\\ \therefore \left[A+(c-1)I\right]^{-1} = -(A+I). \end{eqnarray *} $$