La construcción de cualquier modelo de $\sf ZF$ donde falla el axioma de la elección requiere un conocimiento previo. A continuación se presentan algunos de los requisitos habituales, algunas construcciones pueden requerir sólo una parte de ellos.
-
Modelos de permutación de la teoría de conjuntos con átomos. No son exactamente modelos de $\sf ZF$ pero son relativamente más sencillas de entender. Algunas afirmaciones pueden trasladarse de estos modelos a modelos de $\sf ZF$ y eso hace que muchos ejemplos sean relativamente fáciles de entender.
-
Forzar. El forzamiento es una herramienta importante para construir cualquier modelo de teoría de conjuntos en la teoría de conjuntos moderna, y uno debería sentirse cómodo con los fundamentos del forzamiento. Vale la pena mencionar el forzamiento de clases, porque a veces es necesario en estos contextos.
-
Extensiones simétricas. Se trata de una extensión del método de forzamiento, pero merece una mención aparte. Es una de las dos principales herramientas de construcción de modelos de $\sf ZF$ sin el axioma de elección. Los teoremas de transferencia mencionados en el primer punto hacen uso de esta técnica.
-
Constructibilidad relativa. Se trata de otro método de construcción de modelos en el que falla el axioma de elección. En algunos casos nos permite evitar el uso del forzamiento, y en otros casos sólo nos permite evitar el uso de extensiones simétricas. Pero en cualquier caso este método es muy útil y muy común en los trabajos en los que falla el axioma de elección.
Para algunos propósitos puede necesitar más herramientas. Pueden entrar en juego cosas como los cardinales grandes, o la combinatoria infinita, etc. También están las cosas sobre la comprensión de las ideas matemáticas con las que se desea interactuar. Si quieres construir un modelo sin ultrafiltros libres en $\Bbb N$ Entonces es bueno entender cuáles son las propiedades de tales conjuntos, y qué tipo de cosas se derivan de su existencia.
Ahora podemos abordar los ejemplos para modelos en los que no hay ultrafiltros libres. El caso en el que sólo nos interesa "No hay ultrafiltros libres sobre $\Bbb N$ " es algo más sencillo, y se trata de un problema dado en Jech El axioma de la elección (Cap. 5, Problema 24, p.82).
Esto, como señaló Paul McKenney, es una consecuencia de afirmaciones como "todos los conjuntos de reales son medibles" y "todos los conjuntos de reales tienen la propiedad Baire". Dado que ambas propiedades se vuelven engorrosas en modelos en los que $\Bbb R$ es una unión contable de conjuntos contables, permítanme hablar de ellos en conjunción de $\sf DC$ (o al menos " $\omega_1$ es regular").
Ambas afirmaciones son válidas en el modelo de Solovay, que en cuanto a los modelos de $\sf ZF$ ir, es relativamente sencillo de construir. Sin embargo, las pruebas de que ambas propiedades se mantienen requieren una comprensión más profunda y mejor de la teoría de conjuntos. Shelah demostró que para obtener un modelo en el que todos los conjuntos de reales son medibles se requiere la existencia de un cardinal inaccesible, mientras que la construcción de un modelo de $\sf ZF+DC+BP$ no requiere una inaccesibilidad. Naturalmente, su construcción es considerablemente más difícil que la de Solovay.
El caso general de "No hay ultrafiltros libres" es más difícil, como se esperaba. La prueba se debe a Andreas Blass, y puede encontrarse en su artículo:
Blass, Andreas " Un modelo sin ultrafiltros. " El toro. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 25 (1977), no. 4, 329-331.
