Dejemos que $w$ sea la única raíz real de $x^3-x-1=0$ . Demostrar que $w$ no puede satisfacer la cuadrática $ax^2 + bx + c$ donde $a,b,c\in \Bbb Z$ .
He escrito $$w^3=w+1$$ pero no puedo ir más allá. Gracias.
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Omran Kouba
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Obsérvese que, por la división euclidiana $$x^3-x-1=Q(x)(ax^2+bx+c)+x \left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{c}{a}-1\right)+\frac{b c}{a^2}-1$$ Por lo tanto, si $w$ es una raíz de ambos $x^3-x-1=0$ y $ax^2+bx+c=0~$ entonces tendríamos $$ w \left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{c}{a}-1\right)+\frac{b c}{a^2}-1=0 $$ Así que si $a^2+a c-b^2\ne0~$ entonces $$ w=\frac{b c-a^2}{a^2+a c-b^2}\in\mathbb{Q} $$ lo cual es absurdo ya que $x^3-x-1=0~$ no tiene soluciones racionales.
Ahora bien, ¿qué sucede si $a^2+a c-b^2 =0~$ ?
En este caso también debemos tener $a^2=bc$ . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que $\gcd(a,b,c)=1$ . Desde $a^2=bc$ concluimos que $\gcd(b,c)=1$ porque, de lo contrario, cualquier divisor primo común también dividiría $a$ .
Desde $\gcd(b,c)=1$ y $a^2=bc$ concluimos que $$b=\epsilon\beta^2, c=\epsilon\gamma^2, a=\epsilon'\beta\gamma,\qquad\hbox{with $ \gcd(\beta,\gamma)=1,~(\epsilon,\epsilon)'\in\{+1,-1\}^2 $}$$ Sustitución en $a^2+a c-b^2 =0$ obtenemos $\gamma^2(\beta+\epsilon\epsilon'\gamma)=\beta^3$ Así que $\gamma|\beta^3$ pero $\gcd(\beta,\gamma)=1$ Así que.., $\gamma=1$ y en consecuencia $ \beta+\epsilon\epsilon'=\beta^3$ . Esto implica que $\beta $ es una solución entera de $x^3-x-1=0$ o $x^3-x+1=0$ lo cual es claramente absurdo. Por lo tanto, este caso no puede ocurrir.
Roger Hoover
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$p(x)=x^3-x-1$ es un polinomio irreducible sobre $\mathbb{Q}$ ya que es irreducible sobre $\mathbb{F}_2$ (como es un polinomio de tercer grado, demostrar que es irreducible sobre un campo finito es equivalente a demostrar que no tiene raíces en el campo. Pero $p(x)$ es un trinomio, por lo que $p(0)=p(1)=1$ en $\mathbb{F}_2$ ) . Esto hace que cualquier raíz de $p(x)$ es un número algebraico de grado $3$ en $\mathbb{Q}$ por lo que no puede ser la raíz de ningún polinomio cuadrático con coeficientes enteros.
Paramanand Singh
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Supongamos que $w \in \mathbb{R}$ es una raíz de $x^{3} - x - 1 = 0$ y $ax^{2} + bx + c = 0$ con $a, b, c \in \mathbb{Q}$ y $a \neq 0 \neq c$ . Es fácil establecer que la única raíz real $w$ de $x^{3} - x - 1 = 0$ es irracional. También hay que tener en cuenta que en este caso $ax^{2} + bx + c = 0$ tiene dos raíces y éstas deben ser desiguales, de lo contrario $w$ será racional. Si estas dos raíces son también las raíces de $x^{3} - x - 1 = 0$ entonces se deduce que $ax^{2} + bx + c$ divide $x^{3} - x - 1$ y, por tanto, el factor restante debe ser lineal con coeficientes racionales que conduzcan a una raíz racional de $x^{3} - x - 1 = 0$ que no es posible. De ello se desprende que tanto $x^{3} - x - 1$ y $ax^{2} + bx + c$ sólo tienen un factor común de tipo $(x - w)$ . Por lo tanto, se deduce que el GCD de estos polinomios $ax^{2} + bx + c$ y $x^{3} - x - 1$ es un polinomio lineal. Sin embargo, el GCD de estos dos polinomios debe tener coeficientes racionales, lo que implicará que $w$ es racional.
La contradicción anterior muestra que no puede haber ningún polinomio $ax^{2} + bx + c$ con coeficientes racionales que tienen $w$ como su raíz. La prueba muestra que si un número irracional $\alpha$ es la única raíz real de un polinomio cúbico $P(x)$ con coeficientes racionales, entonces $P(x)$ es irreducible sobre racionales.
