¿Existe una función no constante $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ que suma a 0 en las esquinas de las plazas?

Question

Un problema en el 2009 Putnam le pregunta acerca de las funciones de $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ de manera tal que siempre que $A,B,C,D$ son las esquinas de algunos plaza tenemos $f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0$. Sin estropear el problema demasiado, sólo voy a mencionar que mi solución se descompone si queremos cambiar el rango de la función a ser, es decir, un campo de característica 2.

Así que, ¿qué tal si nos tomamos el rango de ser el campo de dos elementos? Hay no constantes de las funciones con esta propiedad toma valores en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$?

Supongo que la respuesta es No, pero no tengo pruebas. A mí me parece que nada análogo a la bastante simple enfoque que tomó en el problema original que trabajo aquí. He descartado varias construcciones simples y sencillas diferentes obstáculos, pero no han hecho mucho más progreso.

Answer 1

Dado un valor de $f(0,0), f(0,1), f(0,2)$, e $f(1,1)$, usando su relación en las plazas laterales de la longitud de $1$$\sqrt 2$, deducir el valor de $f$$\mathbb Z^2$.

Dado que hay $16$ opciones posibles para los valores de $f$ en cuatro puntos, de esta forma la $16$ soluciones en $\mathbb Z^2$ : Hay $4$ familias :

• las dos constantes de funciones ($f(x,y) = 0$, ...)
• los dos tableros de ajedrez ($f(x,y) = x+y \pmod 2$, ...)
• el ocho "tamaño 2" tableros de ajedrez ($f(x,y) = [x/2]+[y/2] \pmod 2$, ...)
• los cuatro "alternando las líneas de" funciones" ( $f(x) = x \mod 2$ , ...)

Usted notará que $f(0,0) = f(4,0)$ en cada caso.

Por lo tanto, si usted no tiene una constante para colorear, encontrar dos puntos de diferente color, la etiqueta $(0,0)$$(4,0)$, entonces usted no será capaz de definir $f$ en el entramado inducida por los dos puntos.

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En realidad, esto funciona con las funciones de tener valores en cualquier finito conmutativa grupo $G$. La condición de plazas en el tamaño de la $1$ $\sqrt 2$ dar una transferencia de automorphism $T : G^4 \to G^4$ asignación de $(f(0,0),f(0,1),f(0,2),f(1,1))$$(f(1,0),f(1,1),f(1,2),f(2,1))$. Desde $G$ es finito, hay un período de $n$ tal que $T^{\circ n} = id$, lo que significa que cualquier solución en $\mathbb Z^2$ $n$- periódico (en ambas direcciones). Tan sólo tienes que tomar dos puntos con distintos valores de f y dibujar el adecuado entramado donde se $n$ unidades de distancia para obtener una contradicción.

Answer 2

Vamos a una plaza se subdivide en cuatro subsquares, y la etiqueta de los puntos por sus valores mod 2 en el mapa de$R^2$$Z_2$. Deje que los vértices de la "gran plaza" ser $a,c,g,i$. La parte superior izquierda subsquare tiene vértices $a,b,d,e$, en La parte superior derecha de la plaza tiene vértices $b,c,f,e$, la parte inferior izquierda subsquare tiene vértices $d,e,h,g$, y en la parte inferior derecha de la plaza tiene vértices $e,f,i,h$. También existe la "diagonal de la plaza" con vértices $b,f,h,d$. Por lo tanto el punto etiquetados $e$ está en el centro de la gran plaza, y los vértices de la diagonal de la plaza son los puntos medios de los lados de la gran plaza.

Ahora la hipótesis de que la suma de los vértices de cada cuadrado (recordemos por la labellings me refiero a que el valor en $Z_2$ asignados a los vértices) es cero mod 2. Ahora, considere la identidad algebraica $$2d+g+2h -(d+e+g+h)+(b+c+e+f)-(b+d+f+h)=c.$$ Los términos aquí en paréntesis se $0$ mod 2 por supuesto, ya que son, respectivamente, los vértices de la parte inferior izquierda, superior derecha, y diagonal subsquares. Y mod 2 el lado izquierdo es $g$. Así que lo que tenemos es que el $g=c$ mod 2.

Nuestra conclusión es que, en virtud de la asignación, cada cuadrado tiene el mismo valor mod 2 asigna a cada par de diametricdally opuesto vértices.

Podemos usar esto para mostrar el mapa es constante mod 2 en el plano: Vamos a decir $k$ ser el valor de la mod 2 asignado al origen $(0,0)$. Deje $P=(x,y)$ ser cualquier punto que no sea el de origen. Hay, pues, una plaza de tener diametralmente opuesto vértices, uno en $(0,0)$ y el otro a $(x,y)$. Por lo que hemos mostrado anteriormente, los valores mod 2 del mapa en (0,0) y en $(x,y)$ debe ser el mismo, por lo que el mapa en $(x,y)$ debe $k$. Así que el mapa es constante mod 2.

Answer 3

No estoy seguro de entender tu mencionados solución de la pregunta original: ¿cómo puede una función de $f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} $ tienen como rango de $\mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}$?

De todos modos, aquí no es constante con la función de su rango deseado (EDIT: funciona sólo en la plaza paralela a los ejes x,y):

$$f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{Z}/{2\mathbb{Z}}$$ $$ f(x,y) = \begin{cases} 1 &\mbox{if } x \in \mathbb{Q} \\ 0 & \mbox{if } x \notin \mathbb{Q} \end{casos} $$

Para comprobar que es satifies las propiedades necesarias, tome un cuadrado ABCD con coordenadas $A=(x_1,y_1),B=(x_1,y_2),C=(x_2,y_2),D=(x_2,y_1)$ Es obvio que f(A) = f(B) y f(C)=f(D), y, por tanto, la suma se convierte en cero para cualquier elección de a, B, C, y D.

Esto funciona también para cualquier rectángulos.