Demostrar que un espacio métrico es completo

Question

La página de Wikipedia sobre espacios métricos completos ofrece varios ejemplos de espacios métricos que son y no son completos. http://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space

He aquí algunas líneas en particular -

El intervalo abierto $(0, 1)$ , de nuevo con el absolu completa. La secuencia definida por $x_n = \frac{1}{n}$ i no tiene límite en el espacio dado. Sin embargo, el intervalo cerrado $[0, 1]$ es completa; la secuencia dada tiene un límite en este intervalo y el límite es cero.

Sé que un espacio métrico M es completo si toda secuencia de Cauchy de puntos en M tiene un límite que también está en M, pero el ejemplo anterior sólo considera un Secuencia de Cauchy y luego anuncia que el intervalo es completo.

¿Cómo pueden decir que es completa sin considerar todas las posibles secuencias de Cauchy en el intervalo, que es lo que exige la definición? y, para el caso, ¿cómo sería posible considerar todas las secuencias de Cauchy en un intervalo dado que, supongo, hay un número infinito de ellas?

Alguien puede aclararme esto... tengo la sensación de que estoy pasando por alto algo sencillo.

Answer 1

Para demostrar que un intervalo cerrado es completo, puedes hacer lo siguiente: Primero se demuestra que toda secuencia de Cauchy está acotada. Por lo tanto, tiene una subsecuencia convergente y el límite está en el intervalo, ya que es cerrado. Luego se comprueba que si una subsecuencia de una sucesión de Cauchy converge a un punto, la propia sucesión converge al mismo punto.

Answer 2

Si el conjunto de puntos de la sucesión es finito, la sucesión converge claramente. En caso contrario, el intervalo cerrado es compacto. Por lo tanto, todo subconjunto infinito tiene un punto límite. Es fácil demostrar que la sucesión converge a este punto límite:

Sea el punto límite $L$ . Fijar $\varepsilon > 0$ . Elige $N \in \mathbb N$ para que $\forall n, m > N : |a_n - a_m| < \frac{\varepsilon}{2}$ . Elige $a_{p}$ para que $p > N, |a_p - L| < \frac{\varepsilon}{2}$ . Esto siempre es posible ya que $L$ es un punto límite. Lo tenemos: $$ \forall n > N : |a_n - L| \le |a_n - a_p| + |a_p - L| < \varepsilon $$

Answer 3

El intervalo cerrado $[a, b]$ está completo.

Prueba : Obsérvese que $[a, b] \subseteq \mathbb R$ donde $\mathbb R$ es un espacio métrico completo. Consideremos $[a, b]^C = (-\infty, a) \cup (b, \infty)$ . Ahora

• Si $x_0 \in (-\infty, a)$ Elige $\displaystyle \delta = \frac{a + x_0}{2}$ entonces $x_0 \in B(x_0, \delta) \subseteq (-\infty, a) \subseteq [a, b]^C$ .

• Si $x_0 \in (b, \infty)$ Elige $\displaystyle \delta = \frac{b + x_0}{2}$ entonces $x_0 \in B(x_0, \delta) \subseteq (b, \infty) \subseteq [a, b]^C$ .

Así $[a, b]^C$ contiene una bola alrededor de cada uno de sus puntos, por lo que $[a, b]^C$ está abierto y, por tanto $[a, b]$ está cerrado.

Supongamos que $(x_n)$ es una sucesión de Cauchy en $[a, b]$ . Puesto que toda sucesión de Cauchy en $\mathbb R$ converge, se deduce que $x_n \to x \in \overline{[a, b]}$ donde $\overline{[a, b]}$ es el cierre de $[a, b]$ ( $\overline{[a, b]} = [a, b] \cup \{\text{accumulation points}\}$ ) que es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $[a, b]$ . Pero obsérvese que el conjunto cerrado más pequeño que contiene $[a, b]$ es $[a, b]$ . Por lo tanto $x \in \overline{[a, b]} = [a, b]$ Así $x_n \to x \in [a, b]$ y podemos concluir que $[a, b]$ es un espacio métrico completo.

En particular, $a=0$ y $b=1$ implica $[0, 1]$ está completo.