Que $S_{n}$ ser grupo simétrico. Entonces es dado por generadores $\tau_{i}$ donde $i=1,2,\ldots,n-1$ y relaciones $${\tau_{i}}^2$ $ $$\tau_{i}\tau_{j}=\tau_{j}\tau_{i}\text{ for }i\neq j\pm1$ $ $$\tau_{i}\tau_{i+1}\tau_{i}=\tau_{i+1}\tau_{i}\tau_{i+1}$ $ estaré contento si alguien me puede presentar detallan prueba de este hecho.
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Drealmer
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Si entiendo la pregunta, es para mostrar que el grupo simétrico $S_n$ es exactamente el grupo universal en los generadores con esas relaciones. Es decir, que es el cociente de la libre grupo en $n$ generadores por el menor subgrupo normal que contiene los relatores.
El posible problema sería que $S_n$ podría ser un adecuado cociente de la real grupo universal con esas relaciones.
Un dispositivo para entender $S_n$ es como un Coxeter grupo: el real grupo universal $W$ con generadores $s_j$ y en las relaciones como en la pregunta es, por definición, un grupo de Coxeter, y el _reflection_representation_ $W\rightarrow O(V)$ para el grupo ortogonal de la correspondiente invariante de la forma cuadrática (desde el Coxeter de datos) está probado es inyectiva por la consideración de la longitud de la función en el grupo. No es del todo trivial para probar esto (ver el Corolario de la página. 7 de http://www.math.umn.edu/~garrett/m/edificios/libro.pdf, por ejemplo).
A ver que $S_n$ es isomorfo a $W$, en lugar de a una adecuada cociente, tenemos una representación natural de $S_n$ $(n-1)$- dimensional espacio vectorial $V$ de la preservación de una forma cuadrática isomorfo a la Coxeter forma. De hecho, y como era de esperar, la restricción de la Matanza forma a la diagonal de las matrices en la Mentira de álgebra $sl(n)$ $SL(n)$ es preservado por la conjugación (Adjunto) la acción de $n$a$n$ permutación de matrices, y es un escalar varios de los Coxeter forma cuadrática.
Esto puede parecer indirecta o de largo aliento, pero es bastante conceptual, y se aplica a las realizaciones concretas de la (esférica) Weyl grupos de otro clásico de los grupos, así.
