Los autovalores de la Multiplicación algebraica campo de número de

Question

Finalmente tengo una nueva pregunta que es desconcertante para mí. Actualmente estoy leyendo un manuscrito de modo que no hay ninguna referencia o vínculo que pueda proporcionar. Voy a tratar de poner toda la información necesaria aquí. Esto implica que la he oído varias definiciones por primera vez durante la lectura, que por otro lado se asume y a menos que me proporcionan referencias que la idea es que todo lo necesario se debe obtener a partir de lo que se menciona en el post.

Pregunta 1: (muy general)

Deje $\mathbb{K}$ ser una expresión algebraica campo de número, es decir,$\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{K}$$[\mathbb{K}:\mathbb{Q}]=:d<\infty$. Deje $b\in\mathbb{K}$ y definen $\phi(b)(x):=bx$ todos los $x\in\mathbb{K}$. A continuación,$\phi(b)\in\operatorname{End}(\mathbb{Q}^{[\mathbb{K}:\mathbb{Q}]})$. ¿Cuáles son los Autovalores de a $\phi(b)$ (es decir, las raíces del polinomio característico)?

Lo que tengo:

Como $\mathbb{K}$ es un número algebraico de campo, sabemos que $\mathbb{K}\cong\mathbb{Q}(\alpha)$ para un número algebraico sobre $\mathbb{Q}$ y las de $m\in\mathbb{Q}[z]$ el polinomio mínimo de a $\alpha$. Dejando $\zeta_{1},\ldots,\zeta_{r}$ las verdaderas raíces de $m$ $\zeta_{r+1},\overline{\zeta_{r+1}},\ldots,\zeta_{r+s},\overline{\zeta_{r+s}}$ de las raíces complejas de $m$, sabemos que $\alpha$ es un aniquilador de el polinomio característico de a $\phi(\alpha)$ y, por tanto, el polinomio mínimo divide el polinomio característico y, por tanto, $m$ son separables sobre $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}$- varios de los charcteristic polinomio por razones de dimensión. Este argumento es válido para todas las raíces de $m$.

¿Cuál es el problema:

En el manuscrito en la mano podemos empezar con un elemento $\zeta\in\mathbb{Q}(\alpha)$ (o $\mathbb{K}$ - como usted prefiera) satisfacer algunas más restricciones:

Hay un sub-anillo $\mathcal{O}\subseteq \mathbb{Q}(\alpha)$ tal y como un aditivo grupo $\mathcal{O}\cong\mathbb{Z}^{d}$ ($d=[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ y la base es de campo $\mathbb{Q}$, esto implica que $\mathcal{O}$ es un entramado en el $\mathbb{Q}$-espacio vectorial $\mathbb{Q}(\alpha)$).

$\mathcal{O}$ se llama una orden - no estoy seguro de si esto está de acuerdo con la definición estándar de una orden (que a veces uno ve el requisito de que $1\in\mathcal{O}$ que no sigue automáticamente a partir de esta definición). Ahora el manuscrito afirma que para $b\in\mathcal{O}$ los autovalores de a $\phi(b)$ también están dadas por las raíces de $m$. No estoy seguro, pero este me parece extraño. Si dejamos $b=0$, entonces los autovalores son todos cero. Si $1\in\mathcal{O}$, $b=1$ los autovalores son todos 1. Podemos decir algo sobre el grupo de unidades, es decir, si $b\in\mathcal{O}^{\times}=\{o\in\mathcal{O};\exists p\in\mathcal{O}:op=1\}$?

Pregunta 2:

Es allí una manera de identificar los elementos de la $b\in\mathcal{O}$ tal que $\phi(b)$ tiene las raíces de $m$ como valores propios?

Answer 1

(No estoy seguro de si estoy aswering la pregunta que usted realmente quiere hacer, o si ya estaba contestado en los comentarios, pero de todos modos)

Si $b\in K$ si $f\in\mathbb Q[x]$ es el polinomio mínimo de a $b$ e si $n=[K:\mathbb Q(b)]$,$\phi=f^n$. No hay mucho que probar: si $n=1$ usted puede tomar $1,b,b^2,\dots, b^{k-1}$ como base de $K$ ($k=\deg f$) y se obtiene la matriz estándar con char. polinomio $f$. Para un general $n$, elija una base $a_1,\dots,a_n$$K$$\mathbb Q(b)$, por lo que el $b^ta_s$ es una base de $K$$\mathbb Q$, y la matriz de $\phi$ es de bloque-diagonal, con el mismo bloque de repetición $n$-veces. Hay más agradable pruebas (mi favorito es: $K\otimes_{\mathbb Q}\mathbb C\cong\mathbb C\oplus\mathbb C\oplus\dots\oplus\mathbb C$ $\mathbb C$- álgebra, y la inclusión $K\to K\otimes_{\mathbb Q}\mathbb C$ es a través de todas las incrustaciones de $K$$\mathbb C$), pero esto va a hacer.