Entiendo la idea detrás de los complejos y de los números imaginarios. Estoy tratando de entender cuaterniones.
¿Cuál es la relación entre imaginario (o complejo) de los números, y cuaterniones?
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Vamos a empezar con la línea real $\mathbb{R}$ constituido de números reales $t$. Este campo no es algebraicamente cerrado de la ausencia de una verdadera solución a la simple ecuación polinómica : $$\tag{1} X^2=-1$$
Una solución de $(1)$ nombre $\,\mathbf{i}\,$ fue inventado y se supone que pertenecen a la (imaginaria) ortogonal a la recta real en $0$. Los 'números' $\;t+x\,\mathbf{i}\;$ $\,t,x\,$ real que constituye el campo de $\,\mathbb{C}$. Este campo es algebraicamente cerrado y nada más necesario añadir en este punto.
Pero Hamilton quería salir del avión y se imaginó otra solución independiente de la $\,\mathbf{j}\,$ $(1)$ pertenecientes a la ortogonal a lo real y lo imaginario líneas en $0$.
Jugando con estos nuevos "números extended' $\;t+x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}\;$ llenando el espacio en 3D él se metió en problemas con la multiplicación , ya que el producto de dos números extended' contenidos de los productos $\,\mathbf{i}\,\mathbf{j}\,$$\,\mathbf{j}\,\mathbf{i}$.
Supongamos que $\,\mathbf{i}\,\mathbf{j}\,$ pertenece al espacio 3D : esto significa que $\;\mathbf{i}\,\mathbf{j}=a+b\,\mathbf{i}+c\,\mathbf{j}\;$ pero si multiplicamos este (a la izquierda) por $\mathbf{i}\,$, reemplace $\mathbf{i}\,\mathbf{j}\,$ por la expresión inicial y simplificar todo lo que a continuación se obtienen $\mathbf{j}$$\;\mathbf{j}=\alpha +\beta\,\mathbf{i}\;$ : el espacio 3D se derrumbó de nuevo al primer plano complejo!
A partir de la distributividad y la asociatividad del producto que no puede así tener dos independientes $\mathbf{i}\,$ $\mathbf{j}\,$ sin su producto $\;\mathbf{k}:=\mathbf{i}\,\mathbf{j}\,$ independiente : la 4D espacio generado por $\,(1,\,\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k})\,$ es obligatorio!
¿Y qué acerca de $\,\mathbf{j}\,\mathbf{i}$?
Si suponemos que $\,\mathbf{i}\,\mathbf{j}=\mathbf{j}\,\mathbf{i}\,$, entonces todo va a seguir siendo conmutativa con $\,\mathbf{k}^2=1\,$ y obtenemos lo que se denomina tessarines por James Berberechos y más tarde bicomplex números que fueron más generalizada a multicomplex números ($\,\mathbf{k}$ sí la definición de un split-número complejo).
Pero antes de todo esto, Hamilton di cuenta de que $\,\left(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}\right)^2=xy\;(\mathbf{i}\,\mathbf{j}+\mathbf{j}\,\mathbf{i})-(x^2+y^2)\,$, de modo que el abandono de conmutatividad, y suponiendo que el $\,\mathbf{k}=\mathbf{i}\,\mathbf{j}=-\mathbf{j}\,\mathbf{i}\;$ se puede reescribir no sólo $\,\left(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}\right)^2=-(x^2+y^2)\,$, pero también se $\,\mathbf{k}^2=-1\,$$\,\left(x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}\right)^2=-(x^2+y^2+z^2)$.
El espacio en 3D que deseaba era así generados por $\,(\mathbf{i},\,\mathbf{j},\,\mathbf{k})\,$ en lugar de $\,(1,\,\mathbf{i},\,\mathbf{j})\,$ y obtuvo además un interesante cuarta dimensión! Estaba bastante orgulloso de su descubrimiento a tallar su muy buen resultado en la piedra del Puente de Brougham: $$\boxed{\displaystyle\mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{i}\mathbf{j}\mathbf{k}=-1}$$
JeanMarie
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196
Aquí es un hormigón vista a través de matrices.
Preliminar: recordemos que uno puede identificar los números complejos con una determinada familia de matrices, en las siguientes isomorfo manera:
$$\tag{1}u+iv \ \ \longleftrightarrow \ \ \left(\begin{array}{rr}u&-v\\v&u\end{array}\right)$$
Comentario: esta correspondencia puede ser utilizado para definir los números complejos.
De un modo concreto, esto significa que cada una de las operaciones que pueden realizarse sobre los números complejos pueden ser "refleja" como una operación sobre matrices, por ejemplo la multiplicación en $\mathbb{C}$ está en correspondencia con la multiplicación de la matriz:
$$(u+iv)(u'+iv')\ \longleftrightarrow \ \left(\begin{array}{rr}u&-v\\v&u\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}u'&-v'\\v'&u'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}uu'-vv'&-(u'v+uv')\\u'v+uv'&uu'-vv'\end{array}\right)$$
Como muy elemental prueba, ¿cuál es la matriz de las operaciones relacionadas con la conjugación de la operación ?
Ahora, veamos el caso de cuaterniones. Una cuádrupla puede ser definido bajo la forma de la siguiente $4 \times 4$ matriz:
$$\tag{2}Q \ := \ \left(\begin{array}{rrrr}d&-c&b&a\\c&d&-a&b\\-b&a&d&c\\-a&-b&-c&d\end{array}\right) \ \ = \ \ dI_4+(a \mathbb{I}+b\mathbb{J}+c\mathbb{K}) $$
con $ \ \ \ \mathbb{I}=\left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\-1&0&0&0\end{array}\right), \ \ \mathbb{J}=\left(\begin{array}{rrrr}0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}\right), \ \ \mathbb{K}=\left(\begin{array}{rrrr}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{array}\right).$
$dI_4$ se llama la parte real de la $Q$ $a \mathbb{I}+b\mathbb{J}+c\mathbb{K}$ su vector parte. Es importante decir que la identidad de la matriz $I_4$ tiene que ser el "pensamiento" como número real $1$ (esta es la notación que se utiliza en particular en la tabla siguiente). El conjunto de los cuaterniones es denotado $\mathbb{H}$, con la siguiente tabla de multiplicación (por ejemplo, I*J=K): $$\ \begin{array}{r|rrr}*&I&J&K\\ \hline I&-1&K&-J\\J&-K&-1&I\\K&J&-I&-1\end{array}$$
Con el fin de responder a tu pregunta, te voy a mostrar tres "lugares" donde se puede ver una relación entre cuaterniones y números complejos.
Primer punto : se vincula con el hecho de que (ver tabla arriba) que $\mathbb{I}^2=-1$, $\mathbb{J}^2=-1$, $\mathbb{K}^2=-1$. Por lo tanto, hay (al menos) tres copias de $\mathbb{C}$$\mathbb{H}$: una copia se extendió por $(1,\mathbb{I})$,$(1,\mathbb{J})$,$(1,\mathbb{K})$.
Segundo lugar : consideremos el siguiente bloque de la descomposición de (2):
$$\tag{3}\left(\begin{array}{rr|rr}d&-c&b&a\\c&d&-a&b\\ \hline -b&a&d&c\\-a&-b&-c&d\end{array}\right) \ \ \longleftrightarrow \ \ \left(\begin{array}{rr}\alpha &-\bar \beta \\ \beta & \bar \alpha\end{array}\right) $$
con $\alpha := d+ic$ $\beta:=-b-ia.$ (usando la correspondencia descrita en (1)).
Para (3), como fue el caso de (1), es un isomorfismo : cuaterniones cálculos se transcripted como los cálculos de $2 \times 2$ matrices complejas (del tipo particular dada por (3)).
Es por eso que, en algunos libros de la mitad del siglo Xx, cuaterniones son descritos como hypercomplex números (en particular en libros rusos); los cálculos se facilitó por el hecho de que uno puede escribir (aún la identificación de $I_4$$1$):
$$d1+aI+bJ+cK=(d+bJ)+I(a+cJ)$$
se trata de un "complejo de complejos" (un qualificative que ahora ha sido abandonado) el uso de dos diferentes análogos ( $I$ $J$ ) de número complejo $i$.
Tercer lugar : Cuaterniones de la matriz (2) se puede dividir en una forma diferente:
$$\left(\begin{array}{rrr|r}d&-c&b&a\\c&d&-a&b\\-b&a&d&c\\ \hline -a&-b&-c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}[N]_{\times}+dI_3 &N \\ -N^T & d\end{array}\right) $$
donde $N$ se identifica con el vector que parte $a \mathbb{I}+b\mathbb{J}+c\mathbb{K}$ $[N]_{\times}$ indica el $3 \times 3$ "productos cruzados" operador definido por $[N]_{\times}V=N \times V.$
Este partioning permite un acceso a los vectorial uso de cuaterniones (que ha encontrado una nueva vida con la robótica). En particular, cuando el siguiente producto es expandido (por bloques):
$$\left(\begin{array}{cc}[N]_{\times}+dI_3 &N \\ -N^T & d\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}[N']_{\times}+d'I_3 &N' \\ -N'^T & d'\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}[N'']_{\times}+d''I_3 &N'' \\ -N''^T & d''\end{array}\right),$$
se obtiene, de la escritura en la siguiente symboling camino, donde la parte real y el vector de parte de los componentes son separados:
$$\tag{4}[d,N]*[d',N']=[dd'-N^TN',dN'+d'N+N \times N']$$
Quaternionic multiplicación (4) se recuerda a los números complejos de la multiplicación:
$$\tag{5}(d+iN)*(d'+iN')=(dd'-NN')+i(dN'+d'N)$$
pero para el complemento de término representado por la cruz del producto $N \times N'$, de alguna manera refleja la no-conmutatividad de la quaternionic producto.
$Remark$: Es bien sabido que, usando (2), det(Q)=$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$. Esta cantidad es llamada la plaza de la cuádrupla norma. Por comparación, el determinante de la $2 \times 2$ complejidad de la matriz (3) es $|\alpha|^2+|\beta|^2=a^2+b^2+c^2+d^2$.
rschwieb
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60669
Ambos surgen de la Cayley-Dickson construcción de álgebras.
Si eres consciente de la conexión de $\mathbb C$ con rotaciones de $\mathbb R^2$, entonces se puede trazar un paralelo con $\mathbb H$ ya que se puede hacer rotaciones de $\mathbb R^3$ con cuaterniones.
Junto con $\mathbb R$, $\mathbb C$ y $\mathbb H$ son la única finito dimensionales, asociativa $\mathbb R$ álgebras de división.
Mientras que $\mathbb H$ contiene muchas copias de $\mathbb C$, no es una $\mathbb C$ álgebra. Ninguna de las copias que se encuentran en el centro de la $\mathbb H$,$\mathbb R$.
arctic tern
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383
Los números complejos $\mathbb{C}$, como un verdadero espacios vectoriales, es atravesado por $1$$i$. Es, pues, una de dos dimensiones. Así que cada número complejo se parece a $a+bi$ para algunos números reales $a$$b$. Un número imaginario es $bi$ de $b$.
Los cuaterniones $\mathbb{H}$, como un verdadero espacio vectorial, es atravesado por $1,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ (así, en particular, es de cuatro dimensiones). Así que todos los cuaterniones se parece a $a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$ para algunos números reales $a,b,c,d$, y el imaginario quaterions parecerse a $b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$. Si nos identificamos $1,i\in\mathbb{C}$$1,\mathbf{i}\in\mathbb{H}$, podemos tratar a $\mathbb{C}\subset\mathbb{H}$ como un subconjunto (de hecho, un verdadero subespacio vectorial).
Las partes real e imaginaria de un número complejo $a+bi$$a$$b$. Para la parte imaginaria, se suele hablar sólo de la real escalares $b$ que aparece en el frente de $i$ sin incluir el $i$ sí, pero con cuaterniones $\mathbb{H}$ el imaginario cuaterniones no son todos los múltiplos de algunos fijos de cuaterniones (como cada imaginaria del número complejo es un múltiplo de a $i$), por lo que no se puede hacer. Decimos que las partes real e imaginaria de una cuádrupla $a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$ $a$ $b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$ respectivamente.
Hay una norma $|x+yi|=\sqrt{x^2+y^2}$ que es multiplicativa en $\mathbb{C}$ ($|zw|=|z||w|$ para todos los números complejos $z,w$). Esto se extiende a una norma sobre cuaterniones,
$$|a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.$$
La tabla de multiplicación para $1,\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ puede ser descubierto por la siguiente regla mnemotécnica:
$\hskip 1.7in$ 
Automáticamente, $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ son de tres diferentes raíces cuadradas de $-1$. La multiplicación de dos de ellos "en orden" (como se muestra arriba) los rendimientos de la tercera, mientras que la multiplicación de ellos "contra" el orden de los rendimientos de los opuestos. Así, por ejemplo, $\mathbf{ij}=\mathbf{k}$ pero $\mathbf{ji}=-\mathbf{k}$.
Usando la propiedad distributiva y esta tabla de multiplicación, podemos multiplicar dos cuaterniones juntos $(a_1+b_1\mathbf{i}+c_1\mathbf{j}+d_1\mathbf{k})(a_2+b_2\mathbf{i}+c_2\mathbf{j}+d_2\mathbf{k})$.
Ejercicio 1. Multiplicar la anterior, y escribir como $\square+\square\mathbf{i}+\square\mathbf{j}+\square\mathbf{k}$.
Ejercicio 2. Compruebe $|uv|=|u||v|$ tiene para todos los cuaterniones $u,v\in\mathbb{H}$.
De hecho, tratando de obtener la norma multiplicativo es exactamente la motivación Hamilton tuvo cuando descubrió / inventado los cuaterniones.
Si pensamos en el subespacio de $\mathbb{H}$ de los imaginarios cuaterniones, $\mathrm{span}\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}$, como se acaba de $\mathbb{R}^3$ integrado de vectores, entonces podemos pensar que cuaterniones como escalares más vectores.
Ejercicio 3. Compruebe $\mathbf{u}\mathbf{v}=-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ donde $\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3\subset\mathbb{H}$ son vectores, $\cdot$ es el producto escalar de y $\times$ es el producto cruzado.
Esto permite un "coordenadas-gratis" definición de los cuaterniones. Si empezamos con una orientada en tres dimensiones interiores espacio del producto $V$, entonces el producto vectorial se define automáticamente en simplemente a partir de sus propiedades geométricas, y luego la multiplicación por $\mathbb{R}\oplus V$ puede ser definido por primera distribución de $(a+\mathbf{u})(b+\mathbf{v})=ab+a\mathbf{v}+b\mathbf{u}+\mathbf{uv}$ y, a continuación, utilizar esta fórmula para $\mathbf{uv}$. Sólo alimento para el pensamiento.
Ejercicio 4. Verificar el quaternion soluciones a $x^2=-1$ son precisamente el imaginario puro cuaterniones con la unidad de la norma.
Dado cualquier unidad de cuaterniones $q=a+b\mathbf{i}+c\mathbf{j}+d\mathbf{k}$, $a=\cos\theta$ $\sqrt{b^2+c^2+d^2}=\sin\theta$ para algunos ángulo de $\theta$, en cuyo caso tenemos $q=\cos\theta+(\sin\theta)\mathbf{u}$ para algunos imaginarios puros de cuaterniones $\mathbf{u}$. Desde $\mathbf{u}$ es una raíz cuadrada de $-1$, algebraicamente se comporta como $i\in\mathbb{C}$, por lo que este es $q=\exp(\theta\mathbf{u})$ (de la fórmula de Moivre). Ahora si $q$ es no una unidad de cuaterniones, entonces podemos escribir $q=rp$ donde $r=|q|$ $p$ es una unidad de cuaterniones, que a su vez significa que podemos escribir $q=re^{\theta\mathbf{u}}$. Por lo tanto, polar forma generaliza a los cuaterniones.
En $\mathbb{C}$, la unidad de los números complejos forman una unidad estándar círculo de $\mathbb{S}^1$, y además forman un grupo (se puede multiplicar, etc.). En $\mathbb{H}$, la unidad de cuaterniones corresponden a las soluciones a la ecuación de $a^2+b^2+c^2+d^2=1$, que es una imagen tridimensional de la esfera que se encuentra dentro de cuatro dimensiones del espacio ($\mathbb{H}$) llama la $3$-esfera $\mathbb{S}^3$. Este también es un grupo (se puede multiplicar, etc.).
Ahora, en $\mathbb{C}$, la multiplicación por una unidad compleja número $e^{i\theta}$ tiene la buena interpretación como la rotación por el ángulo de $\theta$. ¿Cómo funciona este generalizar con cuaterniones? Resulta que, utilizando la unidad de cuaterniones multiplicación que puede generar tanto rotaciones 3D y 4D rotaciones. Me explicó el 3D caso aquí, y tanto 3D y 4D casos se explican en las primeras partes de Stillwell la Ingenua Teoría de la Mentira (aunque parece accidentalmente e implícitamente aplicar funciones desde la derecha a veces).
Una nota final. Desde $\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2$ como verdaderos espacios vectoriales, y a cada número complejo $z\in\mathbb{C}$ es asociada a una multiplicación de mapa de $L_z(w):=zw$, cada número complejo $z$ puede ser asociada a un real $2\times 2$ matriz. No sólo esto, sino $\mathbb{C}\to M_2(\mathbb{R})$ respecto a la suma y la multiplicación, por lo que podemos ver los números complejos como una subalgebra de $M_2(\mathbb{R})$.
El mismo se puede hacer con cuaterniones, en el que puede ser visto como un álgebra $4\times 4$ real de las matrices. (También se puede ver $\mathbb{H}$ como un derecho $\mathbb{C}$-espacio vectorial, para ver el $\mathbb{H}$ como un verdadero álgebra de $2\times 2$ matrices complejas, pero esto es más complicado y convenciones parecen diferir entre cada fuente.)
