Voy a tomar el reto en nbubis comentario (aunque aún no hay $99$ respuestas), y trataremos de dar una respuesta precisa. Y ya que esta es un de las matemáticas en lugar de una filosofía sitio, voy a tratar de utilizar algunas fórmulas para describir lo que está pasando.
Como se ha señalado, la técnica de la noción de conocimiento común que es importante aquí. Claramente hay en este problema de la necesidad de distinguir entre la verdad de una proposición y el hecho de que alguna persona sabe de esta proposición de mantener. En realidad, no hay necesidad de distinguir a los individuos (y de hecho solo el " blue-eyed aquellos que realmente importa), y basta estado cuando todo el mundo (en el problema) conoce a una proposición. Así que si $P$ es cualquier proposición, que se nota $E(P)$ una nueva proposición que afirma que todo el mundo sabe que $P$ para ser verdad. Ya que todo el mundo se aplica la lógica impecable $E(P)$ implica $P$, pero P $$ no implica $E(P)$. Y $E(P)$ no implica $E(E(P))$, que es una nueva proposición, que será conveniente para abreviar $E^2(P)$, y definir $E^n(P)$ el mismo modo para todo $n\in\Bbb$ N. Por último, algunas cosas (como el estado general de los asuntos de la isla, incluyendo el logico-compulsivo de la conducta de sus habitantes) son de conocimiento común; voy a escribir $C(P)$ para $\forall n\in\Bbb N:E^n(P)$.
Deja $$ n denota el número de ojos azules habitantes.
Ahora, por ejemplo, de acuerdo a la declaración del problema $n=100$ es cierto, pero $E(n=100)$ es falso; de hecho, ninguno de los habitantes saben que $n=100$. Pero, por otra parte $E(99\leq n\leq 101)$ es cierto (todos los habitantes saben que $99\leq n\leq 101$, aunque la forma en que ellos saben que esto es diferente). Me centraré en los límites inferiores; mientras que $E^2(n\geq99)$ es falso (aunque todo el mundo sabe que $n\geq99$ se mantiene, la de ojos azules habitantes no saben que el otro de ojos azules que saben de esto), $E^2(n\geq98)$ sí. Del mismo modo para todas las $i$ a uno $E^i(n\geq100-i)$ pero no $E^i(n>100-i)$. La nueva información proporcionada por la declaración pública de que el Guru es de $C(n>0)$, lo que implica $E^i(n>0)$ para todo$~i$, de los cuales la instancia pertinente para el problema es de $E^{100}(n>0)$, lo que anteriormente no fue cierto.
Mientras esto apunta a que el factor clave en la explicación del enigma, es algo más difícil de describir en detalle lo que sucede con el estado del conocimiento durante los $100$ días antes de que los ojos azules, finalmente, salir de la isla. Para que voy a denotar por $L(i)$ la declaración "en la noche$~i$, algunos isleños dejar". Por el enunciado del problema siempre es de conocimiento común cuando sucede esto, pero voy a escribir $C(L(i))$ o $C(\lnot L(i))$ subrayar esta común-conocimientos de estado.
El enunciado del problema nos da el siguiente hecho, que en realidad es de conocimiento común:
Para cualquier $i\geq0$ y $k>0$, uno tiene $n=k\de la tierra C(\lnot L(i))\de la tierra E(n\geq k)\C(L(i+1))$.$\quad(*)$
En palabras, si $n$ es en realidad $k$, y en algún día no los isleños tienen a la izquierda (aún), y todo el mundo sabe que $n\geq k$, a continuación, algunos isleños se deje a la noche siguiente. Esto es debido a que el $k>0$ blue-eyed isleños ver $k-1$ a los demás, y sabe que no debe ser de al menos $k$ de ellos. El siguiente es verdadero, y (por lo tanto, como su prueba se basa en la lógica común de conocimiento:
Lema. Para todas las $l,k\in\Bbb N$ a uno $E^{l+k}(n>0)\de la tierra C(\forall i\leq k:\lnot L(i))\a E^l(n>k)$.
Esto indica de manera informal y que con suficiente conocimiento general (es decir, un poder suficiente de $E$ aplicado) en el hecho de que $n>0$, después de que $k$ sucesivas noches de nadie dejando de ser claro para todos que $n>k$, pero este nuevo hecho se han perdido $k$ de sus niveles de $E(\cdot)$. Uno podría simplificar el lema y su prueba considerablemente mediante la sustitución de los poderes de la $E$ a $C$, y dado que el Gurú le ofrece a $C(n>0)$, esto sería suficiente para explicar lo que realmente sucede. Sin embargo, el refinado instrucción es útil en la comprensión, por ejemplo ¿por qué $E^{99}(n>0)$, lo cual es cierto, sin el Guru hablando, no será suficiente para traer a alguien a la acción. Tengo que admitir que el lema no muy bien expresa el elemento temporal del problema; implícitamente se supone que la información contenida en su hipótesis estaba disponible antes $(*)$ tuvo la primera ocasión para ser aplicado, es decir, antes de la noche de$~1$ (pero no antes de que la noche$~0$, $C(\lnot L(0))$ representa el estado inicial dado).
Prueba por inducción sobre $k$, de manera uniforme en $l$. Por $k=0$ la conclusión es que entre las hipótesis; no hay nada que probar. Ahora supongamos que la instrucción de $k$, y también la hipótesis de $E^{l+k+1}(n>0)\de la tierra C(\forall i\leq k+1:\lnot L(i))$ de la declaración de la $k+1$ en lugar de $k$. La segunda parte de la hyposthesis implica el más débil de $C(\forall i\leq k:\lnot L(i))$, por lo que podemos aplicar la hipótesis de inducción con $l+1$ en lugar de $l$, y obtener su conclusión de que $E^{l+1}(n>k)$. Instanciamos $ ( * ) $ $(i,k):=(k,k+1)$, dando
$$
n=k+1\de la tierra C(\lnot L(k))\de la tierra E(n\geq k+1)\a C(L(k+1)),
$$
lo que implica (porque $C(\lnot L(k+1))\implica \lnot L(k+1)\implica\lnot C(L(k+1))$)
$$
C(\lnot L(k))\de la tierra E(n>k)\de la tierra C(\lnot L(k+1))\n\neq k+1.
$$
Si $H$ es la hipótesis de esta última afirmación, que en realidad se sabe que $E^l(H)$ (a partir de nuestras premisas y la conclusión de la aplicación de nuestra hipótesis de inducción). Esto nos permite concluir $E^l(n\neq k+1)$, que junto con la $E^l(n>k)$ da $E^l(n>k+1)$, para completar la prueba.
Ahora a la descripción detallada de lo que sucede; de los $100$ ojos azules esperar hasta que ellos saben que $n\geq100$ antes $(*)$ les obliga a abandonar. El lema para $l=1$ y $k=99$ dice que esto va a pasar siempre $E^{100}(n>0)$ tiene y $\forall i\leq99:C(\lnot L(i))$. Nuestro Guru ofrece $C(n>0)$ y por tanto $E^{100}(n>0)$ y $C(\lnot L(0))$ sostiene a partir de la declaración del problema. Aún hay que esperar a los $99$ otras instancias de $C(\lnot L(i))$ a proporcionar el requisito previo hechos para la acción.
En resumen, uno tiene las siguientes respuestas a las preguntas.
$1$. ¿Cuál es la cuantificado pieza de información que el Gurú se establece que cada persona no tiene ya?
Este es de $C(n>0)$, y es su ejemplo $E^{100}(n>0)$ que es realmente la nueva información, y es necesario para cualquier acción que se lleve a cabo (potencias superiores son también de nueva información, pero $E^{100}(n>0)$ solo pone las cosas en movimiento). Tenga en cuenta que esto requiere de la instrucción del Guru ser público (dar la información por separado para individuales habitantes que no tienen ningún efecto; de hecho, no es información nueva para ellos), y por otra parte el hecho de que es público debe ser público (un programa de televisión no sería suficiente si los habitantes podrían tener alguna duda acerca de si todo el mundo estaba viendo), y de nuevo, esto debe ser conocido por todo el mundo, y así sucesivamente $100$ niveles de profundidad. (Lo que uno realmente necesita una muy fuerte declaración del problema para asegurar esto. Si cualquier habitante tenía una duda acerca de la posibilidad de que otro habitante podría tal vez tener alguna duda acerca de si ... algunos habitante era realmente prestando atención al Guru, la lógica sería un fracaso.)
Así que no es realmente nueva información en la confección de la declaración por el Gurú, pero no es la contenida en el mensaje que trae en sí, sino en el hecho de que las causas que (todo el mundo es consciente de que)$^{100}$ que hay gente con ojos azules.
$2$. Cada persona sabe, desde el principio, que hay no menos de $99$ de ojos azules a la gente en la isla. ¿Cómo, entonces, es considerar que el $1$ y $2$-persona en los casos pertinentes, si todos ellos pueden gobernar a cabo de inmediato, como de las posibilidades?
Mientras que todo el mundo sabe que decir $n>10$, envolviéndola en un número suficiente de solicitudes de $E(\cdot)$ hace que sea falsa. Es estos envuelto-up declaraciones que juegan un papel en el razonamiento.
$3$. ¿Por qué tienen que esperar a $99$ noches si en la primera de $98$ o así de estas noches, simplemente comprobar algo que ya sabes?
Cada noche trae su nueva información, es decir, $C(\lnot L(i))$. Mientras que la mayoría de las veces $\lnot L(i)$ sí misma era ya conocido por todos, el hecho de que sea de conocimiento general es auténtica nueva información, y de nuevo esto es esencial para el problema.
Comentario Final.
Se me nota que he usado la regla de que si $P\Q$ se mantiene, entonces $E^l(P)$ implica $E^l(Q)$. Esto puede parecer sospechoso, como $E$ no conmuta con todos los conectivos lógicos, en particular, $E(P\lor P)$ no implica $E(P)\lor E(Q)$. Aunque yo no soy consciente de que todas las reglas del formalismo, de la que me he aplicado es intuitivamente válido, por el "infalible lógica" de la naturaleza de los habitantes: si $P$ implica, de hecho, $Q$, esto no va a escapar a su atención, y quien además sabe $P$ a retención, por lo tanto, también se sabe que $P$ a sostener, en particular, si todo el mundo sabe que $P$, a continuación, que también todos sabemos$~Q$.
