Pregunta:
Dada una circunferencia y dos puntos $P$ y $Q$ no necesariamente en ese círculo. Las perpendiculares se trazan desde los puntos $P$ y $Q$ a la líneas polares de los puntos $Q$ y $P$ respectivamente. Demostrar que el cociente de las longitudes de dichas perpendiculares es igual al cociente de las distancias del punto $P$ y $Q$ desde el centro del círculo.
Intento:
He resuelto esta pregunta asumiendo la ecuación del círculo como $x^2+y^2=1$
Dejemos que $P$ sea $(x_1,y_1)$ y $Q$ sea $(x_2,y_2)$ .
Polar de $P$ es $$xx_1+yy_1-1=0$$ Polar de $Q$ es $$xx_2+yy_2-1=0$$
La distancia perpendicular de $P$ a la polar de $Q$ es $$\frac{x_1x_2+y_1y_2-1}{\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}}$$ Del mismo modo, la distancia perpendicular de $Q$ es $$\frac{x_1x_2+y_1y_2-1}{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}}$$ La proporción es $$\frac{\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}}{\sqrt{{x_2}^2+{y_2}^2}}$$ que es la relación entre la distancia al centro del círculo $(0,0)$ a los puntos $P$ y $Q$ .
¿Hay algún método para resolver esto usando geometría ? Parece un problema de dos triángulos similares.
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¿Entonces P y Q son dos puntos cualesquiera del plano?
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Sí. A partir de P, se trazan dos tangentes y luego se traza una línea que une el punto de contacto de las tangentes con el círculo. (Cuerda de contacto).
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¿Hay alguna forma de utilizar conceptos básicos de geometría en este problema? No estoy satisfecho con mi método. (Este problema se hizo fácil sólo porque asumí que el círculo está centrado en el origen).
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Sin perder la generosidad, podemos tenerlo asumido.
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¿Así que esta es la única forma de resolver el problema?
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@AdityaDev: Espero que no te importe mi edición, en particular el hecho de que haya cambiado el nombre de tu cuerda de contacto a polar . Estuve confundido durante un tiempo porque para mí una cuerda es sólo un segmento de línea, mientras que se calcula la distancia a la extensión infinita de ese segmento, que es la polar. Espero que te guste la imagen.
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El diagrama es perfecto.