¿Están relacionadas las sumas telescópicas con el teorema fundamental del cálculo?

Question

Acabo de darme cuenta de que $$\sum_{i=1}^n (a_i - a_{i-1})=a_n-a_0$$ y $$\int_a^b f'(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a)$$ se parecen mucho. Podemos considerar $a_i-a_{i-1}$ un análogo discreto de la derivada de funciones continuas.

¿Hay algo profundo entre esas ecuaciones?

Answer 1

Considere

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$$

Así que tenemos

$$\int_a^bf'(x)dx=\lim_{h\to0}\int_a^b\frac{f(x+h)-f(x)}hdx$$

$$=\lim_{h\to0}\frac1h\left(\int_a^bf(x+h)-f(x)dx\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\frac1h\left(\int_a^bf(x+h)dx-\int_a^bf(x)dx\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\frac1h\left(\int_{a+h}^{b+h}f(x)dx-\int_a^bf(x)dx\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\frac1h\left(\int_b^{b+h}f(x)dx-\int_a^{a+h}f(x)dx\right)\tag1$$

$$=f(b)-f(a)\tag2$$

Puedes graficar o mirar las sumas de Riemann para ver el último paso anterior $(2)$ .

Considere su suma telescópica para $(1)$ .