Contraejemplos para Hölder de la desigualdad cuando se $p$ $q$ no conjugada.

Question

Hölder la desigualdad muestra que, cuando $$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,$$ and $f\en L^p$ and $g\en L^q$, then $$\Vert f\,g\Vert_1 \le \Vert f \Vert_p \Vert g \Vert_q.$$ Hay un ejemplo de esta desigualdad fallando $p=q=1$? He sido incapaz de encontrar uno de los lugares habituales (análisis de textos, y varias combinaciones de los términos de búsqueda en línea).

Answer 1

Considere la recta real con la medida de Lebesgue y $f$, $g$ las funciones características del intervalo de $[0,x]$ fijos $x$. Desde $\lVert f\rVert_p= x^{1/p}$ y lo mismo para las $q$ norma, el Hölder la desigualdad leía $x\leqslant x^{1/p+1/q}$.

Si $p=q=1$, solo tienes que elegir algunos $x$ tal que $x\gt x^2$.

Esto demuestra más en el caso general: si $1/p+1/q\neq 1$, no es constante universal de $C$ tal que para cualquier $(f,g)\in \mathbb L^p\times\mathbb L^q$, $\lVert fg\rVert_1\leqslant C\lVert f\rVert_p\cdot \lVert g\rVert_q$.

Answer 2

Deje $f(x)=x^2, g(x)=\frac{1}{1-x}$ $[0,\frac{1}{2}]$

Aquí $\|f\|_1=\frac{1}{3}\frac{1}{8}=\frac{1}{24}$, $\|g\|_1=\ln 2$

Ahora $\|fg\|_1=\ln 2-\frac{5}{8}\gt\frac{\ln2}{24}$

Answer 3

Para $f_{\alpha,c}(x) = x^{-\alpha}$ $[c,\infty)$ $0$ lo contrario (y $\alpha > 1$) $$ \|f_{\alpha,c}\|_1 = \int_{\mathbb{R}} f(x) \,dx = \frac{x^{-\alpha+1}}{1-\alpha}\bigg|_{x=c}^{c=\infty} = \frac{c^{1-\alpha}}{\alpha - 1} $$ y $$ \|f_{\alpha,c}\cdot f_{\alpha,c}\|_1 = \|f_{2\alpha,c}\|_1 = \frac{c^{1-2\alpha}}{2\alpha - 1} \text{,} $$ que para $c = \sqrt[7]{\frac{1}{2}} < 1$, e $\alpha = 4$ rendimientos $$ \left(\|f_{\alpha,c}\|_1\right)^2 = \left(\frac{c^{1-\alpha}}{\alpha-1}\right)^2 = \frac{c\cdot c^{1 - 2\alpha}}{\alpha^2 - (2\alpha - 1)} = c\frac{2}{9} < \frac{2}{7} = \frac{c^{1 - 2\alpha}}{2\alpha - 1} = \|f_{\alpha,c}\cdot f_{\alpha,c}\| \text{.} $$ El mismo funciona para cada par de $c < 1$, $\alpha^2 > 4\alpha - 2$.