Me mostró el enlace a la MO pregunta sobre todo para convencerte de que este es un asunto difícil. Voy a "responder" en el caso particular de la $f$ es un bijection.
Recordemos que dado un bijection $f : S \to S$ donde $S$ es un conjunto, un ciclo de $f$ longitud de $n$ es un conjunto de distintos puntos de $x, f(x), ... f^{n-1}(x)$ tal que $f^n(x) = x$. Un ciclo de longitud infinita es un conjunto de distintos puntos de $x, f(x), f^2(x), ...$. No es difícil ver que $S$ es un discontinuo de la unión de los ciclos de $f$.
Reclamo: Un bijection $f : S \to S$ tiene una raíz cuadrada si y sólo si hay un número par de ciclos de $f$ de cualquier longitud. (Para los fines de este resultado, el infinito es un número par; de modo que no puede haber un número infinito de ciclos, y usted necesita considerar los ciclos de longitud infinita.)
Prueba. En primer lugar mostramos que cualquier bijection con una raíz cuadrada tiene esta propiedad. Deje $g : S \to S$ ser un bijection tal que $g(g(x)) = f(x)$. Luego de cada ciclo de $g$ corresponde a uno o dos ciclos de $f$, como sigue. Si el ciclo de longitud impar, que corresponde a un ciclo de $f$. Por ejemplo, el ciclo de $1 \to 2 \to 3 \to 1$ $g$ correspondería al ciclo de $1 \to 3 \to 2 \to 1$$f$. Si el ciclo de longitud, corresponde a dos ciclos de $f$. Por ejemplo, el ciclo de $1 \to 2 \to 1$ $g$ correspondería a la par de ciclos de $1 \to 1$$2 \to 2$, y el ciclo de $1 \to 2 \to 3 \to ... $ correspondería a la par de ciclos de $1 \to 3 \to ... $$2 \to 4 \to ...$. En particular, los ciclos de las $f$ de longitud impar puede venir de los ciclos de $g$ de una en una o de dos en dos, pero los ciclos de $f$ de la longitud sólo puede venir de los ciclos de $g$ dos a la vez.
Ahora nos muestran el reverso de la implicación. Dado un ciclo de $f$ de longitud impar $2k+1$, considerar el ciclo correspondiente de $f^{k+1}$ de longitud impar. Desde $f^{2k+2} = f$ cuando se limita a este ciclo, hacen de este un ciclo de $g$. Le da un par de ciclos de $f$ de la misma longitud, sólo unirlas para obtener un ciclo de $g$.
Digo "respuesta" en lugar de contestar porque no es obvio si siempre se puede encontrar el ciclo de descomposición de algunos complicado bijection en un conjunto infinito. En cualquier caso, si $f$ no se supone que para ser un bijection esta pregunta se vuelve mucho más difícil; el análogo del ciclo de descomposición es mucho más difícil trabajar con ellos. Yo sugiero que busque en algunos de los ejemplos donde $S$ es finito si usted realmente desea conseguir un agarre en este caso, la mejor de las suertes.