Conectados bonitos espacios topológicos que son transitivos pero no 2-transitivos bajo homeomorfismos

Question

Yo estaba pensando en una pregunta de antes, y me encontré con esta pregunta.

[Añadido Hausdorff nota, más abajo.]

Es fácil ver que el grupo de auto-homeomorphisms de la línea real de los actos $2$-transitivamente en el espacio, pero no $3$-transitivamente.

Asimismo, es claro que, por ejemplo, $\mathbb R\setminus \{0\}$ es un espacio en el que el grupo de auto-homemorphisms es $1$-transitiva pero no $2$-transitiva.

Si usted toma la línea real con el abierto de los conjuntos de la forma $(-\infty,a)$ algunos $a$, entonces supongo que esto le da un ejemplo, pero que el espacio no es Hausdorff.

Me parece que no puede pensar en un ejemplo de un conectada Hausdorff espacio donde la auto-homeomorphisms se $1$-transitiva pero no $2$-transitiva.

Answer 1

Deje $X=\big(\omega_1\times[0,1)\big)\setminus\{\langle 0,0\rangle\}$ ordenados lexicográficamente. Claramente $X$ está conectado y Hausdorff; de hecho, $X$ es incluso hereditariamente collectionwise normal. Para cada una de las $x\in X$ el conjunto $(\leftarrow,x)$ es homeomórficos a $\Bbb R$ con la topología Euclidiana, por lo $X$ es transitiva bajo autohomeomorphisms, pero está claro que no autohomeomorphism de $X$ puede invertir el orden de un par de puntos: que requeriría la incrustación $\omega_1^*$ en un segmento inicial de $X$.