Determinar el % de función compleja $f\left ( z \right )$

Question

La información es que la función es analítica y que su parte real a lo largo de la línea $y=c x$ es constante. ¿Qué conclusiones puedo sacar de aquí? Creo que esto impone $\frac{\partial u}{\partial x}=0 $ y $\frac{\partial u}{\partial y}=0 $ a lo largo de la línea, sin embargo no estoy seguro cómo tomar desde aquí.

Answer 1

Considere la función $g(z) := \mathrm i (f((1+\mathrm ic)z)-f(0))$. Claramente es analítica $g$ $f$ de la iff es analítica. Por otra parte, $(1+\mathrm ic)z$ tiene la propiedad que iff #% el $y=cx$% #%. Por último, % real $z\in\mathbb R$, claramente $z$ tiene una cero parte imaginaria, es decir, es real.

Así $g(z)$ puede ser cualquier función analítica que asigna valores reales a valores reales.

Answer 2

Mira $f(z)=z^2=x^2-y^2+2ixy$. Tenemos $u(x,y)=x^2-y^2$ y $v(x,y)=2xy$. Tomar el $c=1$. A lo largo de la línea $y=x$, tenemos $u=0$, pero los derivados parciales de $u$ no son $0$ en la línea.