Resolver la ecuación, para $p$ de primera, $x^{2p}- x^p= [6]$ , en $\mathbb {Z}_p$

Question

Según el título, la ecuación es :

$$x^{2p}- x^p=[6]$$

para $p$ primo, en $\mathbb {Z}_p$ .

Se sabe que $a^p \equiv a \mod p$ . Entonces, si la ecuación fuera $a^p -a=[6]$ , $a=6$ .

He intentado hacer algunas manipulaciones usando como herramienta este teorema, pero estoy perdido aquí.

No puedo resolver esto después de mucho tiempo pensando, ¿hay algo más que pueda hacer?

Answer 1

Como usted sabe $x^p \equiv x \pmod{p}$ la ecuación que quieres resolver es equivalente a:

$$x^2 - x \equiv 6 \pmod{p}$$

Los factores polinómicos cuadráticos: $x^2 -x -6 = (x+2)(x-3)$ . ¿Y eso te hace llegar hasta allí?