¿Cómo comprobar si la siguiente desigualdad contiene o no?

Question

Estoy dado con números reales $r,k > 1$. ¿Es el verdadero siguiente? $$\frac{rk}{r+k-1} > 1$ $ He tomado unos cuantos reales y el resultado tiene para ellos. ¿Esta desigualdad tiene en general o no?

Answer 1

La desigualdad es trivial si escribes $a := r-1>0$, $b := k-1>0$. Es decir, $$ \frac{rk}{r+k-1} = \frac{(a+1)(b+1)} {a + b + 1} = \frac{ab + a + b + 1} {a + b + 1} > 1. $$

Answer 2

$$\frac{rk}{r+k-1}>1 \leftrightarrow \\ rk>r + k -1 \leftrightarrow \\ rk -r>k-1 \leftrightarrow \\ r(k-1)>k-1\leftrightarrow\\ r>1$ $ Estas ecuaciones son equivalentes. Tenga en cuenta que la razón podemos decir esto es: $r+k-1>0$ y $k-1>0$. Así que sí, que posee cada $k,r>1$

Answer 3

$0 \lt \cfrac{1}{r} \lt 1\,$ y $0 \lt \cfrac{1}{k} \lt 1\,$ desde $r,k > 1$, por lo tanto:

$$\frac{rk}{r+k-1} = \frac{1}{\cfrac{1}{r}+\cfrac{1}{k}-\cfrac{1}{rk}} = \frac{1}{1 - \left(1-\cfrac{1}{r}\right)\left(1-\cfrac{1}{k}\right)} > \frac{1}{1} = 1$$

Answer 4

En primer lugar se puede utilizar la hipótesis de $r,k>1$ sabiamente, cambiando a $0$. Por ejemplo $r=r'+1$ $k=k'+1$ (y $r',k'>0$), desde $r+k-1> 0$, terminas comprobar si:

$$ rk-r-k+1 >0$$

o

$$ (r'+1)(k'+1)-r'-k'-1 >0$$

y simplificando:

$$ r'k'>0$$

que es la hipótesis.

Ahora han encontrado el camino, se puede ir hacia atrás. Así que por hipótesis:

$$(r-1)(k-1)>0 $$

entonces

$$rk-r-k+1>0 $$

por lo tanto

$$rk>-(-r-k+1) $$

y desde $r+k-1> 0 $, se obtiene el resultado directamente.