relación de dispersión de ondas y fluidos de agua

Question

De pequeña amplitud de las ondas en el agua de viajes en la superficie libre de $y = \eta(x, t)$ de un incompresible no viscoso líquido de profundidad uniforme $h$. Derivar la linearised las condiciones de contorno

$$\text{ at }y=0\quad \frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{\partial\eta}{\partial t},\quad \frac{\partial\varphi}{\partial t}+g\eta=0 $$

y anote la condición de contorno satisfecho por la velocidad potencial de $\varphi$ a los rígidos límites de $y = −h$. Muestran que las ondas de la forma son posibles, $$\eta(x, t) = A\cos(kx − \omega t)$$ y encontrar la velocidad de la onda $c = \omega/k$ en términos de $k$.

Si $kh\ll 1$, muestran que $c$ es aproximadamente igual a $$\sqrt{gh}\left(1 − \frac{1}{6}k^2h^2\right).$$

Para la profundidad finita, conseguí $\text { at }y=-h,\quad\frac{\partial\varphi}{\partial y}=0 $

Mi idea:

Puedo obtener las condiciones de frontera y demostrar que las ondas son posibles cuando los $$\varphi=f(y)\sin(kx-\omega t)$$ Verificación de la condición de contorno para saber que cuando la relación de dispersión $$\omega^2=gk\tanh(kh)$$(tal vez eso es malo?) a continuación, el $c$ se puede obtener en términos de $k$.

Sin embargo, estoy confundido acerca de la aproximación de $c.$ Desde $kh<<1$ (es larga y poco profunda de agua), $\tanh(kh) \approx kh$ pero no me llega a partir de aquí el resultado, y lo que es el $\dfrac{1}{6}$(viene de $k=\dfrac{2\pi}{\lambda}$).

Muchas gracias!

Answer 1

A partir de su relación de dispersión, $$c = \sqrt{g} \sqrt{\frac{\tanh kh}{k}}$$ Así que nos gustaría encontrar una expansión de la serie de $\tanh kh$ pequeña $kh$. $$\frac{\tanh t}{t} = \frac{t -\frac{1}{3} t^3 + \dots}{t} \\ = 1 - \frac{1}{3}t^2 + \dots \\ \sqrt{\frac{\tanh t}{t}} = 1 - \frac{1}{6}t^2 + ...$$ desde el teorema del binomio. Por lo tanto, $$\sqrt{\frac{\tanh kh} {kh}} \approx 1 - \frac{1}{6}k^2c^2 \\ \sqrt{g} \sqrt{\frac{\tanh kh}{k}} \approx \sqrt{gh} \left(1-\frac{1}{6}k^2c^2\right)$$

El paso que falten fue a tomar el siguiente término en la expansión de la serie de $\tanh$, no sólo en el lineal.