Continuación analítica de la función zeta de Riemann

Question

Estoy haciendo un aprendizaje independiente sobre la función Zeta de Riemann sólo por curiosidad. He buscado en el sitio, y sé que hay muchas preguntas sobre la función Zeta de Riemann. Sin embargo, esta en particular no me ha sido respondida ni he podido encontrarla fácilmente en google. Doy clases de matemáticas de secundaria y adjunto en un colegio comunitario local en clases de nivel inferior como Trig y Álgebra Universitaria. Lo digo para que tengas en cuenta el nivel de matemáticas al que he estado expuesto y que redactes tus respuestas en consecuencia (a un nivel elemental con poca sofisticación). Entiendo que se afirma que la función zeta sólo es válida para Re(s)>1 por lo que los argumentos negativos requieren continuación analítica. Pero, ¿por qué la función, tal y como está escrita, no está definida para Re(s)<1? ¿Es porque la serie diverge cuando Re(s)<1? Y si es así, ¿por qué podemos afirmar que la función no está definida para esos valores sólo porque es divergente para esos valores? Realmente me costará convencerme de que podemos cambiar una función sólo porque es divergente en algunos valores.

Answer 1

Empecemos por presentar un ejemplo sencillo de representación de una función con una serie. Sea $f(z)=\frac{1}{1-z}$ para $z\ne 1$ . Recordemos que $f(z)$ puede representarse mediante la serie geométrica

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n \tag 1$$

para $|z|<1$ . Por lo tanto, aunque $f(z)$ existe para todos los $z\ne 1$ su representación, tal y como se indica en $(1)$ sólo es válida cuando $|z|<1$ .

También podemos representar $f(z)$ por la serie

$$f(z)=-\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{z}\right)^n \tag 2$$

para $|z|>1$ . Así, tenemos dos representaciones para la misma función que son válidas en regiones distintas del complejo $z$ -Avión.

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Ahora, supongamos que representamos la función denotada $\zeta(s)$ por la serie

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$

para $\text{Re}(s)>1$ . Podemos ampliar fácilmente la definición escribiendo

$$\underbrace{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}}_{\zeta(s)}=\underbrace{2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^s}}_{2^{1-s}\zeta(s)} -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^s}\tag 3$$

para $\text{Re}(s)>1$ . Al reorganizar $(3)$ encontramos

$$\zeta(s)=(1-2^{1-s})^{-1}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^s}\tag 4$$

Pero fíjate en que la serie del lado derecho de $(4)$ converge para $\text{Re}(s)>0$ . Así, acabamos de desarrollar otra representación para $\zeta(s)$ que es válida en una región más amplia del complejo $s$ -Avión.

Existen otras representaciones en serie de la función Zeta de Riemann, como su serie de Laurent,

$$\zeta(s)=\frac1{s-1}+\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\gamma_n}{n!}(s-1)^n$$

que converge para todo $s\ne 1$ .

Y hay representación integral de $\zeta(s)$ como

$$\zeta(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx$$

que converge para $\text{Re}(s)>1$ y (véase 25.5.11 esta referencia )

$$\zeta(s)=\frac12 +\frac{1}{s-1}-2 \int_0^\infty \frac{\sin(s\arctan(x))}{(1+x^2)^{s/2}(e^{2\pi x}+1)}\,dx$$

que es válido para todos los $s\ne 1$ .

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Answer 2

No estás "cambiando" la función. Lo que hace es ampliando la función, es decir, hacer una nueva función con un dominio mayor que coincida con la función original en el dominio antiguo. Más concretamente, estás ampliando la función $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ cuyo dominio es el semiplano $\Re(s)>1$ a una función con dominio $\mathbb C \setminus\{1\}$ que está de acuerdo con $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ para todos los valores de $s$ con $\Re (s) >1.$ Es una práctica común llamar a ambos $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ y su continuación analítica a $\mathbb C\setminus\{1\}$ (que es un tipo de extensión muy especial) con el mismo nombre $\zeta(s)$ aunque sean funciones diferentes. Recuerda que una función tiene dos partes: (1) Su dominio y (2) una "regla" para producir una salida a partir de cualquier número del dominio. No te olvides de la primera parte.

En cuanto a si la función está de alguna manera "definida" para $\Re (s) \le 1$ por la suma $\sum_{n=1}^\infty n^{-s},$ Me opongo en dos frentes. En primer lugar, ¿qué imaginas que se definiría $as$ ? ¿Infinito quizás? Esto sería complicado ya que la suma podría oscilar y no limitar al infinito de forma significativa. ¿Quizás imagines que "es divergente" es una definición? Podría ayudar volver a un viejo ejercicio de libro de texto en el que te preguntan "¿cuál es el dominio de $\sqrt{x}"$ y tú respondes obedientemente " $x\ge 0$ ". ¿Por qué? Porque (olvidando por un momento que conocemos los números complejos) no podríamos obtener un número a partir de la regla $\sqrt{x}$ para $x<0.$ Estamos en la misma situación con la expresión zeta... no podemos obtener un número para $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ para $\Re(s) \le 1$ por lo que el dominio (más grande posible) de esta expresión es $\Re(s) > 1.$

Por otro lado, quizá no quiso decir "definido" y lo que realmente quiso decir fue "determinado". Entonces la expresión $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ determina de alguna manera única que los valores de $\Re(s)\le1$ son divergentes, o como quieras llamar a su estado de ser. Sin embargo, esto es demasiado fuerte para ser cierto. Tomemos el ejemplo de $\sqrt{x}$ con "dominio" $x\ge0.$ ¿Podemos extender esto a una función sobre todos los reales? Por supuesto que sí. De hecho, podemos definir la función como cualquier cosa que queramos para $x<0.$ Por ejemplo, podríamos definir que la extensión sea cero para $x<0.$ Esta es una extensión perfectamente válida de la función cuya regla es $\sqrt{x}$ y cuyo dominio es $x\ge 0$ a una función cuyo dominio son todos los números reales. Observa que no he abusado de la notación y he llamado a la nueva función $\sqrt{x}$ como he mencionado anteriormente se hace de forma rutinaria con la función zeta.

Ahora bien, podrías objetar "pero ya sé cómo definir una raíz cuadrada para todos los números reales". $\sqrt{-2}=2i$ no cero". Sí, esta es otra extensión válida. Sigues objetando "pero esta es mejor... la otra era un poco arbitraria". Y yo creo que es mejor y más natural también. De hecho creo que es la mejor y más natural definición que se puede pedir. Es tan buena que me inclino por abusar de la notación y llamar a esta extensión $\sqrt{x}$ y considerar $\sqrt{x}$ para que en lo sucesivo tenga dominio $\mathbb R$ en lugar de $x>0.$

Lo que he querido mostrar es que ampliar/modificar una función es un proceso bastante arbitrario, pero que algunas ampliaciones son más agradables que otras. Esto es exactamente lo mismo que ocurre con la función zeta. La función cuya regla es $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ y cuyo dominio es $\Re(s)>1$ tiene un montón de extensiones de dominios más grandes, pero hay una especial y natural llamada continuación analítica que extiende el dominio a $\mathbb C\setminus\{1\}.$ Está de acuerdo con $\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ para $\Re(s)>1$ y también se define fuera de ese dominio, por ejemplo $\zeta(0) = -1/2$ y $\zeta(-1) = -1/12.$ Y como en el último párrafo nos gusta tanto esta nueva función extendida que utilizamos $\zeta(s)$ para denotarla, aunque cualquiera que escriba una exposición sobre la función zeta escribirá primero $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s},$ refiriéndose a una versión restringida de la función zeta con dominio $\Re(s)>1.$ Esto se debe a que es una bonita expresión explícita que sirve como prototipo de la "verdadera" función zeta continuada analíticamente. Al igual que la función zeta restringida $\sqrt{x}$ para $x\ge 0$ es un prototipo más fácil de entender para la función raíz cuadrada extendida en la que el dominio incluye números negativos (a costa de tener que introducir números complejos).

Así que no hay nada realmente misterioso aquí. Podemos extender las funciones a dominios más grandes (o incluso modificarlas en su "dominio natural") de la manera que queramos... sólo que no está garantizado que sea una empresa productiva. Sin embargo, ciertas extensiones son naturales y son productivas. La continuación analítica de la función zeta es un buen ejemplo de ello.

Sin embargo, explicar por qué la continuación analítica es una buena extensión que nos gusta tanto nos llevaría mucho más tiempo y esta respuesta ya es suficientemente larga.

Answer 3

Una función f(z) de una variable compleja z, que está definida en una región R puede ser continuada analíticamente para puntos más allá de la región utilizando una expansión de Taylor- Laurent. Ejemplo: Si f(z) está definida (digamos) dentro de un círculo unitario centrado en z=0, y f(z) es analítica en todos los puntos dentro de este círculo, entonces puede ser "continuada" de la siguiente manera: Tomemos un punto 'a' donde 'a' es un número complejo dentro del círculo unitario también supongamos que 'a' está dentro del círculo unitario pero muy cerca del límite del círculo. Entonces consideremos la serie de Taylor :

f(a) + (z-a).f'(a) + f''(a)/2! . (z-a)^2 . + f''(a)/3! . (z-a)^3 +...

Cuando esta serie se suma para un valor particular z cerca de a, normalmente convergerá y la suma representa el valor f(z), aunque z esté fuera del círculo. Cuando dije que normalmente convergen, quiero decir que uno puede dibujar otro círculo de radio r (pequeño) con 'a' como centro, entonces z puede ser cualquier punto dentro de este nuevo círculo. Pero en ciertos casos (para algunos r) el nuevo círculo puede encontrar un polo entonces la serie no convergerá. Si esto ocurre, hay que elegir un círculo más pequeño alrededor de 'a', de menor radio r. Entonces se puede bordear el polo si es un polo aislado. Véase la figura. Una vez que se conoce f(z), se puede utilizar la misma serie para hallar todas las derivadas de f(z) en z, es decir, f'(z), f''(z), f'''(z),.... A continuación, elegimos esta z como nuestra nueva 'a' y luego dibujamos otro círculo alrededor de esta nueva 'a' y utilizamos otra expansión de Taylor para encontrar f(z) para una nueva 'z' más allá de la nueva 'a'. Entonces, si hay un punto P dentro del círculo unitario y otro punto Q (no un polo) en cualquier lugar fuera del círculo unitario, podemos dibujar una serie de círculos superpuestos, cada uno de cuyos centros se encuentra en un determinado camino que conecta P con Q. Entonces, una sucesión de expansiones de Taylor que parten de P darán finalmente el valor f(Q).

Se ha demostrado que dicha "continuación analítica" es única e independiente del camino (siempre que no se cruce un corte de rama).

Se puede continuar la función zeta desde un punto Rez > 1 hasta cualquier otro punto a la izquierda de la línea vertical Re(z)=1 y la función zeta estará determinada de forma única.

Se asegura que incluso si se utilizan integrales de contorno se obtendrá la misma respuesta para el valor de zeta(z) para cualquier z particular que se habría obtenido mediante las expansiones de Taylor.

Véase la figura siguiente Figura de continuación analítica

Answer 4

Cuando la parte real es más de una, la longitud total de las piezas $|n^{-k}|$ es finito. Así que hay una suma bien definida.
Cuando la parte real está entre cero y uno, las piezas se reducen a cero, pero la longitud total de las piezas es infinita. Como resultado, puedes reordenar los términos y formar la suma que quieras.
Por ejemplo, $$1-\frac12+\frac13-\frac14+...=\ln 2\\ (1+\frac13-\frac12)+(\frac15+\frac17-\frac14)+(\frac19+\frac1{11}-\frac16)+...>(1+\frac13-\frac12)=5/6$$

Cuando $k<0$ , por lo que las piezas son $n^{-k}$ con un exponente positivo, las piezas se hacen cada vez más grandes, por lo que, como dices, no pueden conformarse con nada.

Una función real puede cambiar su forma al cruzar un punto. Hay una función que es cero si $x\leq0$ pero $\exp(-1/x^2)$ cuando $x>0$ Esta función es bastante suave en cero.

Una función compleja no puede cambiar de repente. Cuando una función compleja es diferenciable, sólo hay una forma de extenderla. Es el cálculo de segundo año.

Tenemos $f(x)=\sum n^{-k}$ definido para $\Re(k)>1$ y $g(x)$ definido en todas partes. $f(x)=g(x)$ cuando $\Re(k)>1$ y sólo hay una forma de ampliarlo. Así que llamamos a la suma $g(x)$ aunque la suma no converja.