Probabilidad que $\sin\theta \cos\phi < 0.999772$

Question

Yo estoy para resolver una pregunta de la cinemática en la dispersión de partículas. Las respuestas finales se encuentra en la búsqueda de la probabilidad de que

$$\sin\theta \cos\phi < 0.999772$$

Los rangos de $\theta$ y $\phi$ están $0\leq\theta<\pi$ y $0\leq\phi<2\pi$.

Answer 1

Desde $\cos\phi$ $2\pi$- periódico podemos, por simplicidad cambio de la $\phi$ intervalo de manera que se convierta $[-\pi,\pi]$. Para el producto $\sin\theta\cos\phi$ estar cerca de $1$, entonces debemos tener $\sin\theta\approx 1$$\cos\phi\approx 1$, lo que significa $\theta \approx \frac{\pi}{2}$$\phi \approx 0$. Tomando $\theta = \frac{\pi}{2} + \delta\theta$ $\phi = 0 + \delta\phi$ y la realización de una expansión de Taylor de segundo orden nos da $$\sin\theta\cos\phi \approx 1 - \frac{(\delta\theta)^2 + (\delta\phi)^2}{2}$$

Ahora $\sin\theta\cos\phi > 1-\epsilon = 0.999772$ hace $(\delta\theta)^2 + (\delta\phi)^2 < 2\epsilon$. El área de esta región en $[0,\pi]\times [-\pi,\pi]$ es el área de un círculo con un radio de $\sqrt{2\epsilon}$. La probabilidad de que después de tanto, es de aproximadamente

$$1 - \frac{\pi\cdot 2\epsilon}{\pi\cdot 2\pi} = 1 - \frac{\epsilon}{\pi} \approx \color{red}{0.99992742}53$$

Si necesita una respuesta más precisa, a continuación, un Monte-Carlo el método es una forma sencilla de ir. Dibujar $N$ números aleatorios $\{\theta_i\}_{i=1}^N$ $[0,\pi]$ $N$ números aleatorios$\{\phi_i\}_{i=1}^N$$[-\pi,\pi]$. A continuación, calcular $\sin\theta_i\cos\phi_i$ y la cuenta de cuantas veces $=N_*$ la restricción se satisface. Una estimación de la probabilidad de que después de es $\frac{N_*}{N}$. Esto funciona, pero requiere una gran cantidad de muestras $N\gtrsim 10^9-10^{10}$ para llegar al nivel de precisión donde podemos ver una diferencia de la aproximación se encuentra por encima de. Un más refinado método es considerar sólo una pequeña región alrededor de $(\theta,\phi) = (\pi/2,0)$ y utiliza el mismo tipo de método para estimar el área que está después. Con el método de refinado y con $N=10^{12}$ muestras me parece $\color{red}{0.99992742}12(2)$, con lo que la aproximación anterior es buena para una precisión de unas pocas partes en mil millones.

Answer 2

Deje $\theta$ $\phi$ ser los dos ángulos de un conjunto de coordenadas esféricas, con $\theta$ el ángulo desde el eje polar. Suponga que la distribución de probabilidad es uniforme sobre el área de una esfera centrada en el origen, o, equivalentemente, es uniforme en la dirección del origen, así es proporcional al ángulo sólido subtendido por lo que el cono de los ángulos $\theta$ $\phi$ se encuentran dentro.

Haciendo que el convencional asignación entre coordenadas Cartesianas y esféricas, tenemos que $\sin\theta \cos\phi$ $x$coordenadas de un punto en la unidad de la esfera en coordenadas esféricas $(1, \theta, \phi).$ La región de la esfera, con los ángulos especificados en la región es la totalidad de la esfera, excepto por un pequeño casquete esférico cerca de la $x$-eje.

El área de la superficie de una esfera entre dos planos paralelos (de intersección o de la tangente a la esfera) es $2\pi r$ veces la distancia entre los planos, donde $r$ es el radio de la esfera. Desde la unidad de la esfera tiene radio de $1,$ el pequeño casquete esférico tiene área de $(1-0.999772)\times2\pi,$ de la superficie del resto de la esfera es $(1+0.999772)\times 2\pi,$ y el área de la esfera es $4\pi.$ Por lo tanto la probabilidad es $$\frac{(1+0.999772)\times 2\pi}{4\pi} = 0.999886.$$