Soluciones a esta ecuación diferencial fraccionaria

Question

Así que todos sabemos que $\frac d{dx}e^x=e^x$, y que el $n$th derivado de la $e^x$ aún $e^x$, pero al entrar en fracciones de cálculo, este está en ruinas. Deje $D^\alpha$ $\alpha$th derivado con respecto a $x$. Entonces, como podemos ver, al $\alpha\in[0,1)$,

$$D^\alpha e^x=-\frac1{\Gamma(1-\alpha)}e^x\gamma(\alpha,x)\ne e^x$$

donde utilizamos la baja de la función gamma incompleta.

Que plantea la interesante cuestión:

¿Cuáles son las soluciones a las siguientes fracciones de la ecuación diferencial? $$D^\alpha f(x)=f(x)$$

donde tenemos

$$D^\alpha f(x)=\frac1{\Gamma(n-\alpha)}\int_0^x\frac{f^{(n)}(t)}{(x-t)^{\alpha+1-n}}\ dt$$

con $n=\lfloor\alpha+1\rfloor$.

---

$f$ puede ser una función de $\alpha$.

Answer 1

Esta es una (heurística) responder por $\alpha=1/k$$k\in \mathbb{N}$. Y asumiendo $Df$ existe. Tenga en cuenta que Yo creo (véase editar en el extremo) que podríamos ampliar esta respuesta a cualquier $\alpha$.

Deje $\alpha = 1/2$. Entonces, por definición de la derivada fraccional, tenemos $$D^\alpha D^\alpha f = Df$$ Sustituyendo en la LHS, lo que la ecuación diferencial implica obtenemos $$D^\alpha f = D f$$

Más en general, $$D^{(k-1)\alpha}f=D f \quad (*)$$

Sólo puedo pensar en la función de $f\equiv 0$ que satisface esta y la ecuación diferencial.

Edit: podríamos continuar con la ecuación de $(*)$ conectando repetedly el diff eq en el lado izquierdo para obtener $$ D^{(k-2)\alpha}f=D f$$ $$ D^{(k-3)\alpha}f=D f$$ $$\ldots$$ $$ f=D f$$ Ya sabemos que dos soluciones de la última ecuación y puesto que uno de ellos no satisface el fract diff eq dada en la pregunta, llegamos a la conclusión de que, efectivamente, $f\equiv 0$ es la única soluton.

Creo que esto también es cierto para cualquier $\alpha$ si asumimos que $f$ tiene un derivado hasta un cierto orden: Iniciar con rational $\alpha=p/q$, a continuación, iniciar la discusión con $ (D^\alpha)^q f$.