No entienden lo que realmente significa este teorema para una caracterización del determinante, y que uso tiene. ¿Podría usted por favor explicarlo?
Que $D$ sea una asignación de función del conjunto de matrices cuadradas $M$ $n$ filas/columnas en el campo $F$, a un campo $F$. También dejó $D$ ser una función multilineal y alternadamente en columnas. Entonces
$$D(A) = D(I) \det A$$
TLDR: el teorema de las listas de algunas de las propiedades que una "medida del volumen" debe tener, y dice que el factor determinante es la única cosa que satisface las propiedades.
El propósito de la determinante es responder a la pregunta, "¿Cómo funciona una matriz de transformación (firmado) volúmenes?". Si no ya sabe acerca de los factores determinantes, podemos tratar de construir una función que toma en matrices y salidas de una respuesta a esa pregunta. Lo llaman "$D$". Que se podría tratar de razonar acerca de cómo el volumen de obras para intentar averiguar algunas propiedades de $D$. El teorema dice que, con sólo unas pocas de esas propiedades en la mano (los mencionados en kccu de la respuesta), el algoritmo estándar para el determinante da la única respuesta coherente con esas propiedades.
Vamos a ver cómo estas propiedades se relacionan con el volumen.
$D$ es multilineal función de $n$ vectores en $F^n$ a un escalar.
Pensar en términos de volumen de un paralelogramo / paralelepípedo con una esquina en el origen. Los vectores serán entonces los bordes basada en el origen, y la salida será el (firmado) el volumen del paralelepípedo, que es un escalar. Si la escala de cualquier uno de los lados, el volumen de las escalas por la misma cantidad, que debe sugerencia de que debería ser multilineal. Consultar un buen libro de texto de álgebra lineal para una explicación geométrica de aditividad y por qué tiene sentido para la salida del interruptor de señales cuando uno de los vectores es escalado por un número negativo. (Consulte también que los libros de texto para una explicación de por qué podemos ver que es lo que la matriz no a los volúmenes, en general, con sólo mirar el volumen de este paralelogramo/paralelepípedo.)
Es alterna.
No estoy seguro de qué definición de su fuente da para "alternando;" algunas de las definiciones más intuitivamente se relacionan con el volumen que otros. Una manera de decir que una función multilineal es alterna es que su salida es cero cuando sus entradas son linealmente dependientes. (Si su definición se ve diferente, tratar de ver por qué esto es equivalente.) Que tiene sentido para el volumen: si los vectores son linealmente dependientes, entonces el paralelepípedo será "plana" y no tiene ningún volumen.
Como se describe en kccu la respuesta, el único resto de la propiedad es:
Envía la matriz identidad 1.
Esta última propiedad es algo arbitrario. En el "mundo real" nuestros vectores y escalares tienen unidades conectadas a ellos. Con sólo estas dos propiedades, sería lógico, por ejemplo, $D$ tomar vectores de entrada en metros y la salida de su volumen en galones. Que requieren $D$ a enviar la matriz de identidad a 1, sólo significa que estamos aplicando la coherencia con nuestras unidades de longitud y volumen: si tenemos un cuadrado/cubo/lo que sea, cuyos lados son todos longitud "uno" en cualquiera de las unidades de longitud que estamos usando, nuestras unidades de área/volumen/lo que sea, debe tratar de que la forma de como tener área/volumen/lo que sea de "uno", también.
Esto significa que la función de determinante está totalmente determinada por tres propiedades:
Después de todo, si $D$ cumple todo lo anterior, entonces por el teorema que declaró, tenemos $D(A)=D(I)\text{det}(A)=1 \text{det}(A)=\text{det}(A)$.
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