Creo que es porque hay tan muchos incontables cero sistemas de medida, debería ser muy fácil de crear un contraejemplo. Sin embargo yo no tener una idea acerca de esto.
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bof
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Esa es la definición de un conjunto de Sierpiński: una multitud innumerable (o, equivalentemente, un no-medibles set) en el que cada subconjunto medible es contable. La existencia de un Sierpiński conjunto de los números reales es independiente de ZFC (estándar de la teoría de conjuntos, incluyendo el axioma de elección), pero se sigue de la hipótesis continua.
Para la construcción de un conjunto de Sierpiński mediante el continuo hipótesis, utilizamos el hecho de que cada conjunto de medida de Lebesgue cero está contenida en un $G_\delta$ conjunto de medida cero. Enumerar todas las $G_\delta$ conjuntos (o todos los conjuntos de Borel) de medida cero en un transfinito secuencia $A_\alpha,\ \alpha\lt\omega_1.$ Elegir de forma recursiva puntos $$x_\alpha\in\mathbb R\setminus\left(\{x_\beta:\beta\lt\alpha\}\cup\bigcup_{\beta\lt\alpha}A_\alpha\right);$$ a continuación, $X=\{x_\alpha:\alpha\lt\omega_1\}$ es un conjunto de Sierpiński.
Por otro lado, es consistente con ZFC (ver Martin axioma) que cada conjunto de números reales de la cardinalidad $\aleph_1$ tiene medida de Lebesgue cero. En ese caso, ciertamente, no hay Sierpiński conjuntos, viendo como toda la multitud innumerable tiene un subconjunto de cardinalidad $\aleph_1.$
