Qué es el infinito imaginario, $i\lim\limits_{x \to \infty} x = i\infty$ ?

Question

Wolfram Alpha dice: $$i\lim_{x \to \infty} x = i\infty$$

Tengo un poco de problemas para entender lo que $i\infty$ significa. A la larga, parece que lo que se multiplica por $\infty$ realmente no importa. $\infty$ y la magnitud de lo que se multiplica es irrelevante. Es decir, $\forall a \gt 0$ :

$$a\lim_{x \to \infty} x = \infty, -a\lim_{x \to \infty} x = -\infty$$

¿Qué tienen de especial los números imaginarios? ¿Por qué no $\infty$ se hace cargo cuando se multiplica por $i$ ? Gracias.

Answer 1

En los reales todos los números distintos de cero tienen una paridad. O son positivos o son negativos. $\lim_{x\rightarrow \infty}|ax| =\infty$ (si $a \ne 0$ ) porque la magnitud de $ax$ se hace infinitamente grande.

Si $a > 0$ entonces $\lim_{x\rightarrow \infty}ax = \infty$ porque la magnitud de $ax$ se convierte en infinito y la paridad de todos $ax$ es positivo.

Si $-a < 0$ entonces $\lim_{x\rightarrow \infty}-ax = -\infty$ . ¿Cuál es la diferencia entre $-\infty$ y $\infty$ ? Ninguno de los dos son números reales. Bueno, de nuevo, la magnitud de $-ax$ se convierte en infinito. Pero la paridad de todos $-ax$ es negativo por lo que en lugar de aumentar infinitamente "en la dirección positiva", $-ax$ aumento en la "dirección negativa". Así que $-\infty $ indica una magnitud infinita - paridad negativa.

Los números complejos no nulos no tienen una única paridad bidireccional. Un número complejo tiene dos componentes, una real y otra imaginaria, por lo que son bidimensionales y en lugar de tener una única paridad positiva/negativa, tienen un ángulo direccional llamado argumento. Estos ángulos pueden estar en cualquiera de un número infinito de "direcciones" desde $0^{\circ}$ a $360^{\circ}$ . El número positivo $1$ tiene un argumento de $0^{\circ}$ . Entonces el número $-1$ tiene un argumento de $180^{\circ}$ . El número $\frac 12 + i \frac {\sqrt{3}}2$ tiene un argumento de $30^{\circ}$ .

Y $i$ tiene argumento $90^{\circ}$ .

Entonces, ¿qué pasa con $ix$ como $x \rightarrow \infty$ ? Bueno, sólo la línea $ax$ y $-ax$ su magnitud aumenta hasta el infinito. Así que $\lim_{x\infty} |ix| = \infty$ . Pero ¿cuál es el argumento de todos los $ix$ ? Todos tienen un argumento de $90^{\circ}$ . Pero $\infty$ significa magnitud infinita-paridad positiva. Y $-\infty$ significa magnitud infinita - paridad negativa.

Ninguno de ellos se aplica a $\lim_{x\infty} ix$ que tendrá una magnitud infinita - $90^{\circ}$ argumento. ¿Cómo podemos indicarlo?

Well.... si $-\infty$ significa paridad negativa y $+\infty$ significa paridad positiva, no debería $i\infty$ media $90^{\circ}$ ¿un argumento?

Answer 2

Brevemente, Wolfram|Alpha preserva la $i$ porque te está dando una "dirección" para el infinito. Al igual que $-7\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}x=-\infty$ (la dirección es "hacia la izquierda" en la línea real/el plano complejo), $i\displaystyle{\lim_{x\to\infty}}x=i\infty$ (la dirección es "hacia arriba" en el plano complejo).

Esto se puede utilizar para hacer muchas cosas. Para robar un ejemplo de la documentación para DirectedInfinity puedes pedirle a Wolfram Alpha que encuentre una aproximación de $\arcsin$ para números de la forma $\varepsilon+yi$ donde $|\varepsilon|$ es muy pequeño y $y$ es un número positivo muy grande. Enlace Wolfram|Alpha

Esto se contrasta con el confuso nombre de Wolfram|Alpha " infinito complejo ", donde no hay una dirección concreta. Véase ComplexInfinity para la documentación.

Answer 3

Los números reales y los números imaginarios son cosas diferentes. es diferente de i Al igual que infinitas naranjas e infinitas botellas de zumo son cosas diferentes. Hay operaciones que convierten una en otra, pero eso no viene al caso.

Creo que una buena manera de ver esto es ver dónde se encuentran los reales y los imaginarios en el Diagrama de Argand (se omiten los números complejos y los no enteros por brevedad/claridad).

                              i

                               .

                               .

                              3i 

                              2i

                               i

   -    .    .   -3  -2  -1   0   1   2   3   .   .    

                              -i

                             -2i

                             -3i

                               .

                               .

                             -i

Answer 4

Quizás esta visión más amplia pueda ayudar. (¡Quizá, en cambio, confunda!) Hay varias formas de describir maneras de llegar al infinito. Yo identificaría estas formas con diferentes compactaciones . La compactación es una forma formalizada de añadir puntos en el infinito.

Estudiemos primero la línea real. La compactación más común es la de dos puntos, en la que añadimos $+\infty$ y $-\infty$ . Esto significa que hay que hacer una diferencia entre los infinitos en las dos direcciones, pero sólo añadir un "punto límite" en cada extremo. Otra alternativa es añadir sólo un infinito (llámalo $\tilde\infty$ ), y decir que $x_i\to\tilde\infty$ siempre que $|x_i|\to\infty$ (en el sentido habitual).

También se pueden añadir varios infinitos en ambas direcciones. La máxima compactación (el mayor número de infinitos que puedes añadir de forma consistente) es la Compactación de la piedra-Cech que es terriblemente grande: hay más infinitos que números reales. El infinito puede ramificarse de alguna manera peculiar, pero no profundizaré aquí. Esto es sólo para mostrar que se pueden considerar infinitos mucho más exóticos si se quiere.

Pasemos entonces al plano complejo. La compactación más común es la de un punto (conocida como la esfera de Riemann), donde un único infinito $\tilde\infty$ se añade. En esta compactación $ki$ tiende a $\tilde\infty$ como $k\to\infty$ .

Una alternativa es la compactación radial, añadiendo un punto en cada dirección. (Formalmente, se puede tomar un difeomorfismo radial del plano complejo al disco unitario abierto, y la compactación será el disco cerrado). En esta compactación se pueden describir los infinitos como $\lambda\infty$ , donde $\lambda$ es un número complejo de longitud unitaria. En esta compactación $ki$ tiende a $i\infty$ como $k\to\infty$ .

El plano complejo también tiene la compactación Stone-Cech. Allí sucede algo aún diferente a su secuencia. (El espacio $\beta\mathbb C$ no es secuencialmente compacta, a menos que me equivoque, y no estoy seguro de que esta secuencia en particular tenga un límite. Pero eso no es importante para esta respuesta).

Por lo tanto, el límite $\lim_{k\to\infty}ik$ pueden ser cosas diferentes dependiendo de cómo se vea el infinito. No hay una única respuesta correcta. Lo mismo ocurre con $i\lim_{k\to\infty}k$ aunque la multiplicación no siempre se extiende bien a los objetos límite. En las dos compactificaciones razonables del plano complejo que he presentado, la multiplicación tiene sentido y conmuta con el límite. Para la compactación radial $i\lim_{k\to\infty}k$ es de hecho $i\infty$ pero para el de un punto es $i\tilde\infty=\tilde\infty$ .

Answer 5

En Mathematica , evaluando

Limit[x, x -> Infinity]

da (el símbolo abreviado habitual para la entidad incorporada) Infinity . No hay problema. Y también en Mathematica , evaluando

I Infinity

debe devolver como salida lo mismo que usted introdujo (aunque con el símbolo abreviado de Infinity y el estilizado i que representa ese número complejo).

Esto significa que no es posible realizar más evaluaciones: Mathematica no conoce ninguna otra regla que le permita simplificar más el resultado.