Mostrar secuencia ${a_n} = \sqrt[n]{{{3^n} + {5^n}}}$ es monótona decreciente

Question

(a) mostrar que la secuencia de ${a_n} = \sqrt[n]{{{3^n} + {5^n}}}$ es monótona decreciente
Prueba deja ${a_n} = \sqrt[n]{{{3^n} + {5^n}}} = 5{\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 1} \right]^{\frac{1}{n}}}$ luego
${a_k} = 5{\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^k} + 1} \right]^{\frac{1}{k}}}$
${a_{k + 1}} = 5{\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^{k + 1}} + 1} \right]^{\frac{1}{{k + 1}}}}$
Sabemos que ${\left( {\frac{3}{5}} \right)^k} \geqslant {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{k + 1}}$

${\left( {\frac{3}{5}} \right)^k} + 1 \geqslant {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{k + 1}} + 1$

${\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^k} + 1} \right]^{\frac{1}{{k + 1}}}} \geqslant {\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^{k + 1}} + 1} \right]^{\frac{1}{{k + 1}}}}$

${\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^k} + 1} \right]^{\frac{1}{k}}} \geqslant {\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^k} + 1} \right]^{\frac{1}{{k + 1}}}} \geqslant $ ${\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^{k + 1}} + 1} \right]^{\frac{1}{{k + 1}}}}$

$5 {\left [{{{\left ({\frac{3}{5}} \right)}^k} + 1} \right]^{\frac{1}{k}}} \geqslant 5 {\left [{{{\left ({\frac{3}{5}} \right)}^{k + 1}} + 1} \right]^{\frac{1}{{k + 1}}} $

${a_k} \geqslant {a_{k + 1}}$
Así ${a_n} = \sqrt[n]{{{3^n} + {5^n}}} = 5{\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + 1} \right]^{\frac{1}{n}}}$ es monótona decreciente. Lo no verdadero o falso, espero alguien me ayude gracias.

Answer 1

Que $a=3/5$. Nos fijamos en $\log(1+a^x)^{1/x}=\frac{\log(1+a^x)}{x}$ % positivas $x$.

Distinguir, utilizando la regla del cociente. El denominador es positivo con seguridad. El numerador es $$\frac{x}{1+a^x}(\log a)a^x-\log(1+a^x).$ $ esto es negativo, ya que es $\log a$. Puesto que el logaritmo está disminuyendo, así que es la función original.

Answer 2

Sugerencia: Tomar el registro de derivados de $5\left(1+(3/5)^n\right)^{1/n}$ rendimientos $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}\left(\log(5)+\frac1n\log\left(1+(3/5)^n\right)\right) &=\frac1n\frac{\color{#C00000}{\log(3/5)}(3/5)^n}{1+(3/5)^n}\color{#C00000}{-\frac1{n^2}}\log\left(1+(3/5)^n\right)\end{align} $$

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Acabo de notar que de André respuesta utiliza el cociente de la regla, mientras que la mía se utiliza el producto de la regla; de lo contrario, la mía no es muy diferente. Para dar un valor añadido a mi respuesta, creo que debo dar una respuesta que no utiliza el cálculo.

Bernoulli la Desigualdad, la racional, la versión de que está demostrado aquí, muestra $$ \begin{align} \left[1+\left(\frac35\right)^n\right]^{\Large\frac{n+1}{n}} &\ge1+\frac{n+1}{n}\left(\frac35\right)^n\\ &\ge1+\frac35\left(\frac35\right)^n\\ &=1+\left(\frac35\right)^{n+1}\\ \left[1+\left(\frac35\right)^n\right]^{\Large\frac1n} &\ge\left[1+\left(\frac35\right)^{n+1}\right]^{\Large\frac1{n+1}}\\ \left[5^n+3^n\vphantom{3^{n+1}}\right]^{\Large\frac1n} &\ge\left[5^{n+1}+3^{n+1}\right]^{\Large\frac1{n+1}} \end{align} $$