Solución de la EDP de Euler Darboux

Question

Consideremos la EDP de Euler-Darboux $$ u_{xy}+\frac{k}{x-y}(u_{x}-u_{y})=0 $$

¿Cuál es la solución cuando $k>0$ ? Todos los libros de texto que he mirado dan soluciones para $k<0$ y no veo cómo puedo usar eso para encontrar una solución para $k>0$ . Se agradecen los consejos y cualquier ayuda.

Gracias, felasfa

Answer 1

Dejemos que $$ \xi = x-y, \\ \eta = x+y, $$ puis $$ u_x - u_y = 2u_{\xi}, \quad u_{xy} = u_{\eta\eta}- u_{\xi\xi}. $$ La ecuación se convierte en: $$ u_{\eta\eta}- u_{\xi\xi} + \frac{2k}{\xi} u_{\xi}= 0.\tag{1} $$ Más adelante $t = \xi^{\alpha}$ ( $\alpha\neq -1$ ), entonces $$ u_{\xi} = \alpha \xi^{\alpha-1}u_t ,\quad u_{\xi\xi} =\alpha^2 \xi^{2\alpha-2} u_{tt}+ \alpha(\alpha-1)\xi^{\alpha-2}u_t, $$ Si se vuelve a conectar a (1) se obtiene: $$ u_{\eta\eta} - \alpha^2 \xi^{2\alpha-2} u_{tt}- \alpha(\alpha-1)\xi^{\alpha-2}u_t +2k\alpha \xi^{\alpha-2} u_t = 0. $$ Dejemos que $\alpha = 2k+1>1$ , los términos de la primera orden se cancelan: $$ u_{\eta\eta} - \alpha^2 t^{\frac{2(\alpha-1)}{\alpha} } u_{tt} = 0. $$ Reescribe esto como: $$ u_{tt} - \frac{1}{(2k+1)^2}t^{\frac{-4k}{2k+1}} u_{\eta\eta} = 0.\tag{2} $$ (2) es el Ecuación de onda de tipo Tricomi describiendo la transición de alguna cantidad del flujo subsónico (región elíptica) al flujo supersónico (región hiperbólica), puedes probar suerte con la separación de variables $$u = F(t)G(\eta) = F\Big((x-y)^{2k+1}\Big)G(x+y).$$