Cómo "arreglar" $\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2}$ con números complejos?

Question

Dada la siguiente integral definida,

$$\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2}$$

Puedo ver que es una integral impropia debido a la asíntota en $x=0$ y sé por el gráfico de $\frac 1{x^2}$ que ambas partes a ambos lados de la $y$ -son idénticos.

Por lo tanto, computando sólo la parte de la derecha del $y$ -encuentro que la integral $\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2}$ es divergente ya que $-$ como se esperaba del gráfico de $\frac 1{x^2}-$ esta parte va a $\infty$ :

$$\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{0+\epsilon}^1 \frac {dx}{x^2} \;=\; \lim_{\epsilon\to 0^+}-\frac 1x \;\bigg|_{\,0+\epsilon}^1 \;=\; -1-\left(\lim_{\epsilon\to 0^+}-\frac 1{0+\epsilon}\right) \;=\; \infty\;.$$

Si lo paso por alto intencionadamente y calculo a ciegas la integral, obtengo el resultado tonto

$$\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2} = -2\;.$$

Es decir, un negativo valor del área bajo una función que es sobre el $x$ -eje en todas partes.

Me dijeron que $\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2}$ puede "arreglarse" utilizando números imaginarios por un A.T., pero ninguno de los dos tuvo tiempo de extenderse sobre ese punto.

Entiendo los números complejos y cómo funcionan, así que me pregunto: ¿cómo puedo "arreglar" una integral impropia utilizando números complejos?

Answer 1

Cuando hablamos de la función $f(x)=\frac1{x^2}$ podemos significar dos cosas diferentes:

1. $\,f_1(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}x=0\\\frac1{x^2},&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}$

2. Consideramos que $f_2(x)$ como función holomorfa.

Si integramos el primer caso, obtenemos el valor principal y será infinito:

$$PV\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=\infty$$

Si integramos el segundo caso, obtendremos el Hadamard parte finita y será $-2$ :

$$\operatorname{f.p.}\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}=-2$$

¿Y ahora qué pasa? Intentaré explicarlo en un lenguaje sencillo.

Si tomamos la primer caso la integral $\int_{-\infty}^\infty f_1(x)dx$ es igual a $\int_{-\infty}^\infty 1 dx = 2\pi\delta(0)$ formalmente (o germen de $\frac2x$ en $x\to 0^+$ ) que puede verse en la transformada de Laplace. Esta integral tiene el valor regularizado de $0$ .

Desde $\int_1^\infty \frac1{x^2} dx=1$ la integral $\int_{-1}^1 f_1(x)dx$ tiene el valor regularizado $-2$ . Podemos escribirlo formalmente como $2\pi\delta(0)-2$ .

Consideremos ahora la segundo caso . Aquí, la función tiene singularidad en cero... y esa singularidad se comporta de tal manera como si fuera infinitamente negativa, por lo que equilibra las otras partes de la función:

$\int_{-\infty}^\infty f_2(x)dx=0$

Esto es análogo al salto imaginario que tiene la función logarítmica en cero, salvo que en este caso el salto es infinito (y no imaginario).

Así que.., $\int_{-1}^1 f_2(x)dx=-2$ .

Este segundo caso se utiliza, por ejemplo, en las tablas de transformadas de Fourier.