Cómo "arreglar" $\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2}$ con números complejos?

Question

Dada la siguiente integral definida,

$$\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2}$$

Puedo ver que es una integral impropia debido a la asíntota en $x=0$ y sé por el gráfico de $\frac 1{x^2}$ que ambas partes a ambos lados de la $y$ -son idénticos.

Por lo tanto, computando sólo la parte de la derecha del $y$ -encuentro que la integral $\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2}$ es divergente ya que $-$ como se esperaba del gráfico de $\frac 1{x^2}-$ esta parte va a $\infty$ :

$$\lim_{\epsilon\to 0^+}\int_{0+\epsilon}^1 \frac {dx}{x^2} \;=\; \lim_{\epsilon\to 0^+}-\frac 1x \;\bigg|_{\,0+\epsilon}^1 \;=\; -1-\left(\lim_{\epsilon\to 0^+}-\frac 1{0+\epsilon}\right) \;=\; \infty\;.$$

Si lo paso por alto intencionadamente y calculo a ciegas la integral, obtengo el resultado tonto

$$\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2} = -2\;.$$

Es decir, un negativo valor del área bajo una función que es sobre el $x$ -eje en todas partes.

Me dijeron que $\int_{-1}^1 \frac {dx}{x^2}$ puede "arreglarse" utilizando números imaginarios por un A.T., pero ninguno de los dos tuvo tiempo de extenderse sobre ese punto.

Entiendo los números complejos y cómo funcionan, así que me pregunto: ¿cómo puedo "arreglar" una integral impropia utilizando números complejos?

Answer 1

Tienes razón en que la integral es infinita y no hay nada que las variables complejas vayan a hacer para cambiar esto. Sin embargo, ir a los números complejos nos permite considerar integrales relacionadas que son finitas.

Podemos imaginar la integral que has escrito como una integral sobre un recorrido a lo largo del eje real en el plano complejo. La función $1/z^2$ tiene una divergencia en el origen $z=0$ y el hecho de que el camino pase por este punto es lo que hace que la integral salga infinita. Cuando consideras una variable real, si intentas ir de territorio positivo a negativo, no tienes más remedio que pasar por el origen. Sin embargo, en el plano complejo puedes mover la trayectoria de integración para que "rodee" el origen.

La forma más sencilla de hacerlo es desplazar la trayectoria de integración ligeramente hacia arriba en la dirección imaginaria. Para ello, consideremos $$ \int_{-1}^1\frac{1}{(x-i\epsilon)^2}dx$$ donde $\epsilon$ es un número entero positivo arbitrariamente pequeño. Ahora que no está pasando por ningún punto malo, resulta que el uso ingenuo de las reglas usuales de integración es válido y obtenemos $$\int_{-1}^1 \frac{1}{(x-i\epsilon)^2}dx = \left.\frac{-1}{x-i\epsilon}\right|_{-1}^1=-\frac{1}{1-i\epsilon}-\frac{1}{1+i\epsilon} = -\frac{2}{1+\epsilon^2}.$$

Si toma el límite $\epsilon \to 0$ de este resultado se obtiene $-2,$ tu respuesta errónea de arriba. Esto significa que tenemos un límite y una integral que no conmutan: $$ -2=\lim_{\epsilon\to0} \int_{-1}^1 \frac{1}{(x-i\epsilon)^2}dx \ne \int_{-1}^1 \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{(x-i\epsilon)^2}dx=\infty.$$

Así que el $-2$ parece tener un significado especial para la integral, aunque no es su valor. De hecho, lo que ocurre es que la integral a lo largo de cualquier camino complejo de $-1$ à $1$ que no pasa por el origen tiene el valor $-2$ (la razón de esto es similar a la razón por la que los campos vectoriales conservativos tienen integrales independientes de la trayectoria, si estás familiarizado. La antiderivada $-1/z$ es como un campo potencial). En serio, la integral sobre cualquier camino complejo es $-2$ siempre que empiece y termine en $-1$ y $1$ no importa lo que haga en medio... excepto si toca el origen. Debo añadir que este no es el caso con cualquier integrando (al igual que no todos los campos vectoriales son conservativos).

Dada esta asombrosa propiedad de independencia de la trayectoria, ya no es sorprendente que no veamos ningún indicio de divergencia infinita cuando tomamos $\epsilon\to 0.$ Ninguna de esas líneas de $-1+i\epsilon$ à $1+i\epsilon$ pasan por el origen, como tenemos independencia de trayectorias, el límite es simplemente llevar los puntos finales hasta $-1$ y $1$ y cualquier cosa puede pasar en el medio excepto tocar el origen.

Volviendo a la integral real que nos ocupa, tenemos su definición como integral impropia $$ \int_{-1}^1\frac{dx}{x^2} = \lim_{a,b\to 0^+} \int_{-1}^{-b}\frac{dx}{x^2} + \int_a^1 \frac{dx}{x^2} = \lim_{a,b\to 0^+} -2 +\frac{1}{a}+\frac{1}{b} $$ que podemos ver que adopta la forma $-2+\text{divergence}$ y en este caso la divergencia tiene un límite bien definido de $\infty.$ (Contrasta esto con el caso en el que estás integrando, digamos, $1/x$ en lugar de $1/x^2$ y verás que la divergencia toma la forma indeterminada $\ln(a/b)$ por lo que la integral impropia no existe). Así que la $-2$ es una especie de residuo cuando despreciamos la divergencia en el origen, de acuerdo con que es el valor independiente de la trayectoria de la integral compleja.

Otros han mencionado el valor principal de Cauchy, que es una forma de tratar la divergencia en el origen un poco más indulgente que la integral impropia, ya que restringe el límite anterior para que sea simétrico (es decir, a lo largo de la línea $a=b$ ) donde el comportamiento podría estar bien definido. Aquí, para la integral de $1/x^2,$ esto sólo convierte la divergencia en $\lim_{a\to0^+} 2/a$ así que seguimos obteniendo infinito. (Pero en el caso de $1/x$ mencionado anteriormente, el $\ln(a/b)$ se hace cero, lo que significa que el valor principal de Cauchy está definido). Aunque el valor principal según esta definición no tiene relación directa con las variables complejas, aparece tanto en ese campo que forma parte de hecho de ese tema, así que es posible que esto, y no el desplazamiento de trayectoria anterior, sea a lo que se refería tu AT, aunque como hemos visto no hace nada por esta integral en particular.

Sin embargo, el valor principal está bastante relacionado con la integración a lo largo de un camino complejo particular que evita la divergencia. En lugar de desplazar toda la trayectoria hacia arriba como antes, mantén la trayectoria normal de $-1$ hasta llegar a una distancia de $\epsilon$ del origen, y luego rodear el origen en un semicírculo. Luego continúa desde $\epsilon$ à $1$ a lo largo del eje real. Tomaré el semicírculo por encima del origen en lugar de por debajo, aunque no importa.

Sabemos por la independencia del camino que este integral tiene que salir a $-2$ . Podemos dividirlo en dos partes: el semicírculo y los trozos a lo largo del eje real. La segunda parte tiene el valor $$ \int_{-1}^{-\epsilon}\frac{dx}{x^2}+ \int_\epsilon^1\frac{dx}{x^2} = -2+\frac{2}{\epsilon}$$ que vemos es igual que el valor principal, sólo que antes de tomar el límite $\epsilon\to0.$ La integral alrededor del semicírculo debe ser $-2/\epsilon$ para que toda la integral salga a $-2$ . Así vemos que la divergencia de la parte principal y la divergencia de la integral alrededor del círculo se anulan. Esto nos da una visión detallada de cómo se preserva la independencia de la trayectoria para esta integral, incluso cuando nos acercamos lo más posible a la divergencia sin tocarla.

Answer 2

Una forma de dar un valor a dicha integral es considerar un valor principal:

$$\text{PV}\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x^2}+\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x^2}\right)=\lim_{\varepsilon\to 0^+} 2\left(-1+\frac{1}{\varepsilon}\right)=+\infty. $$ En general, se puede "integrar a través de singularidades" deformando la trayectoria de integración, evitando las singularidades mediante arcos de circunferencia de radio $\varepsilon$ considerando el límite como $\varepsilon\to 0^+$ .
Por ejemplo $\text{PV}\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}=0$ aunque $\frac{1}{x}$ no es integrable en $(-1,1)$ en sentido estricto.

Answer 3

Denote la ruta $\Gamma$ en la recta real con un contorno deformado que se aproxima a cero alrededor del origen

Considere la siguiente función

$$f(z) = \frac{1}{z^2}$$ Ahora a integrar

$$\int_{\Gamma} \frac{dz}{z^2} = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_{-1}^{-\varepsilon}\frac{dx}{x^2}+\int_{\varepsilon}^{1}\frac{dx}{x^2} +\int_{C_{\varepsilon}} \frac{dz}{z^2}\,dz\right)$$

Tenga en cuenta que

$$\int_{C_{\varepsilon}} \frac{dz}{z^2}\,dz =-i \frac{1}{\varepsilon}\int^{\pi}_0 \frac{e^{i\theta}}{e^{2i\theta}} d \theta = -\frac{2}{\varepsilon} $$

Esto puede simplificarse a lo siguiente utilizando el valor princpal

$$\int_{\Gamma} \frac{dz}{z^2} = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(-2+\frac{2}{\varepsilon}-\frac{2}{\varepsilon}\right) = -2$$

EDITAR:

Cometí un error al evaluar el límite alrededor del semicírculo.

Answer 4

La función $f(z) = 1/z^2$ tiene antiderivada $F(z) = -1/z$ en todo el plano complejo excepto $z=0$ . Si $\gamma$ es cualquier contorno en el plano complejo que va desde $-1$ à $1$ y evita $0$ entonces $$ \int_\gamma f(z)\,dz = F(1) - F(-1)= -2. $$ Así que, por supuesto, decimos $$ \int_{-1}^1 \frac{dz}{z^2} = -2 . $$

La mayoría de las integrales de contorno no son independientes de la trayectoria, y entonces necesitas decir más para especificar qué quieres decir con integral de $a$ à $b$ . Por ejemplo, $$ \int_{-1}^1 \frac{dz}{z} $$ no tiene sentido, porque la respuesta difiere, dependiendo del contorno que se forme $-1$ à $1$ tú eliges.

Answer 5

Cuando miró por primera vez una integral como $\int_{-1}^{1}dx/x^2$ tu instinto fue aplicar el teorema fundamental del cálculo, y evaluar $[-1/x]|_{-1}^1$ . Esta respuesta fue claramente equivocado ¿pero por qué? ¿Por qué tener una singularidad en medio fastidia el teorema fundamental del cálculo?

Bueno, se puede intuir que el teorema fundamental del cálculo tiene que ver, por ejemplo, con un disco que se expande hacia fuera, y la derivada del área es la circunferencia -- así que con algo de $dr$ añadido al radio, $2\pi r\cdot dr$ se añade a la zona. Y con mucha $dr$ la suma total a la circunferencia -- la integral de $2\pi r$ en toda la longitud de $dr$ es la diferencia de área sobre la expansión.

Pero se podría imaginar una situación en la que se produjera una singularidad en algún punto de la expansión, de modo que el área se disparara repentinamente hasta el infinito en algún punto de la expansión, y luego volviera a empezar desde 0 1 . Algo no está del todo bien aquí. Nuestra intuición acaba de romperse -- la cantidad real de área que se añadió no es la misma que el cambio de área total aquí.

Como en el ejercicio anterior, veamos la antiderivada de $1/x^2$ entre -1 y 1. Y para comparar, nos quedaremos con otra función -- una función normal y continua -- y su antiderivada.

Y ese es el problema fundamental aquí -- la integral está tomando un camino diferente (y si envolvieras el plano xy alrededor de una esfera, serías capaz de visualizar este camino como si fuera todo el camino hasta el infinito y luego volviendo por detrás) del camino de la integral. $F(b)-F(a)$ cálculo. $F(b)-F(a)$ es -2, pero el camino tomado por la integral es de hecho, $\infty-2$ .

En la recta real, no hay otro camino que puedas tomar (aparte de ir al infinito y volver) en el que la integral sea válida. Pero si pudieras mover la trayectoria un poco "fuera" del plano xy, sería válida, porque no irías al infinito, sino a un número muy alto. Un ejemplo de cómo hacer esto es usar números complejos, ya que la dimensión añadida te permite dibujar la trayectoria entre -1 y 1 un poco fuera del plano, y tomar el límite a medida que este "poco fuera" se acerca a 0. Como ejemplo, puedes mirar la integral:

$$\int_{-1}^1 \frac1{x^2+\epsilon}dx$$

(Explica por qué esta integral puede interpretarse utilizando el plano complejo).

De hecho, es bastante natural utilizar los números complejos como una forma de "asomarse" a la línea real, ya que "las integrales se hacen a lo largo de curvas, no entre límites" es una idea central del cálculo complejo.

1 obviamente, para tenerlo claro, necesitaremos introducir algún concepto de tiempo/parametrización t y en su lugar diferenciar con respecto a ella, y afirmar que existe una singularidad en $r(t)$ .