Representar sumas de álgebra de matriz como anillos de grupo

Question

Deje $A = M_{n_1}(\mathbb R) \oplus M_{n_2}(\mathbb R) \oplus ... \oplus M_{n_m}(\mathbb R)$ ser una suma directa de bienes de la matriz de álgebras. ¿Bajo qué condiciones existe un anillo de grupo $\mathbb R[G]$ que es isomorfo a $A$?

Sé que cada anillo de grupo es isomorfo a algunos de esos $A$ por el teorema de Wedderburn, y quiero para determinar la medida en que la conversación se mantiene. Sé que $A$ debe tener un $\mathbb R$-sumando, correspondiente a la lineal lapso de $\sum_{g\in G} g \in \mathbb R[G]$. Es esta condición suficiente? Si no, hay un buen criterio, al menos para un pequeño número de sumandos?

Answer 1

Este es, de hecho, no lo Artin-Wedderburn dice $\mathbb{R}$. Artin-Wedderburn dice que $\mathbb{R}[G]$ es producto de una matriz álgebra de operadores (finito-dimensional) real de la división de álgebras. Más de $\mathbb{R}$, hay tres de estas álgebras, es decir,$\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$.

Cual de estas álgebras de aparecer puede ser calculada a partir de la tabla de caracteres de $G$ (ver Frobenius-indicador de Schur). En orden para $\mathbb{R}$ a ser el único de la división de álgebra que se produce, el Frobenius-Schur indicador de cada irreductible representación de $G$ $\mathbb{C}$ debe ser igual a $1$. En particular, cada irreductible representación de $G$ $\mathbb{C}$ debe ser auto-dual, que es equivalente a la tabla de caracteres en el ser real, que es a su vez equivalente a cada elemento de a $G$ ser conjugado a su inverso (ambivalente grupos).

Si la condición anterior se mantiene, entonces el $n_i$ son precisamente las dimensiones de la real irreductible representaciones de $G$. Hay varias condiciones que estas dimensiones de la necesidad a satisfacer (por ejemplo, las dimensiones del complejo de representaciones irreducibles debe dividir $|G|$, así que creo que para cada una de las $i$ $n_i$ o $\frac{n_i}{2}$ debe dividir $|G|$, o algo así) y estoy dudoso que algo tan simple puede decirse, en general.

Tenga en cuenta que debemos tener $|G| = \sum n_i^2$, por lo que si este número es particularmente simple (por ejemplo, el primer), entonces usted puede esperar para clasificar todos los grupos finitos de orden $|G|$ y calcular su carácter de tablas.

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Aquí hay algunas cosas que se pueden decir para valores muy pequeños de $m$.

$m = 1$: Cada grupo tiene la representación trivial, así que una de las $n_i$ debe ser igual a $1$. Así, en el caso de un sumando, la única posibilidad es $A = \mathbb{R}$ $G$ es la trivial grupo.

$m = 2$: Debemos tener $A = \mathbb{R} \times M_n(\mathbb{R})$ algunos $n$ $G$ debe ser de un número finito de grupo con $|G| = n^2 + 1$ tal que $G$ tiene sólo un trivial real irreductible de la representación. Esto es muy difícil de restricción para satisfacer: implica que el $G$ tiene un irreductible representación compleja de orden $n$ o $\frac{n}{2}$, por lo tanto cualquiera de las $n$ o $\frac{n}{2}$ divide $n^2 + 1$. La única $n$ con esta propiedad se $n = 1, 2$. En el segundo caso $n^2 + 1 = 5$ y el grupo cíclico de orden $5$ no trabajo, así que sólo podemos tener $G = C_2$$A = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$.

Alternativamente, se sabe que el número de representaciones irreducibles de $G$ es el número de "real conjugacy clases" de $G$, donde el real conjugacy es la relación de equivalencia generada por conjugacy y recíproca. Desde elementos de diferente orden no puede ser real conjugado, el número de clases conjugacy es, al menos, uno más que el número de factores primos de a $|G|$, por lo tanto, si este número es igual a $2$ $|G|$ debe ser el primer y, de hecho, debe ser igual a$2$.

Answer 2

Esto es similar a Qiaochu del Yuan respuesta (+1), pero hace que las reivindicaciones más fuertemente y usos de Miller clasificación de grupos con muy pocas clases conjugacy.

Supongamos $G$ es un grupo finito tal que $\mathbb{R}[G]$ es el producto directo de la matriz de los anillos de $M_{n_i}(\mathbb{R})$$n_1 \leq n_2 \leq \dots \leq n_m$.

La pregunta original de reclamaciones esto es cierto para cualquier grupo, pero en realidad lugares bastante severas restricciones en el grupo que se pueden utilizar para clasificar a los grupos con pequeño $m$. Desde todas las representaciones son reales, tenemos que el $n_i$ son el carácter grados de $G$, y así tenemos que $n_i$ divide $\sum n_i^2 = |G|$ y $m$ es el número de clases conjugacy de $G$ (todos deben ser real). El número de la $n_i$ que es igual a 1 es el índice de $[G:G']$, y, en particular, al menos uno. Ya que todas las representaciones son reales, también tenemos que $G$ contiene exactamente $\sum n_i$ elementos de orden, división 2, y por lo $|G|$ es incluso.

Si $m=1$, sólo hay un grado y sabemos que es $n_1=1$, de modo que $|G|=1$ $G$ es la trivial grupo.

Si $m=2$, $G$ tiene sólo dos clases conjugacy, por lo $|G|=2$ $G$ es cíclico de orden 2 con $n_1=n_2=1$.

Si $m=3$, $G$ tiene sólo tres clases conjugacy, por lo $|G| \in \{3,6\}$, pero sólo $G$ el nonabelian grupo de orden 6 sólo tiene real conjugacy clases, por lo $n_1= n_2=1$$n_3=2$.

Si $m=4$, $G$ sólo cuenta con cuatro clases conjugacy, por lo $|G| \in \{4,10,12\}$, pero sólo$G = C_2 \times C_2$$G = D_{10}$, dando a cualquiera de las $n_1=n_2=n_3=n_4=1$ o $n_1=n_2=1$$n_3=n_4=2$. $$\begin{array}{ccccc|c} n_1 & n_2 & n_3 & n_4 & G \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & C_2 \times C_2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & D_{10} \end{array}$$

Si $m=5$, entonces tenemos sólo cuatro posibilidades: $$\begin{array}{ccccc|c} n_1 & n_2 & n_3 & n_4 & n_5 & G \\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & D_8 \\ 1 & 1 & 2 & 2 & 2 & D_{14} \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & S_4 \\ 1 & 3 & 3 & 4 & 5 & A_5 \end{array}$$