Ecuación diferencial de primer orden no lineal con una simple solución paramétrica.

Question

Tengo que resolver la ecuación diferencial de primer orden no lineal %#% $ de #% donde $$\frac{a-y'}{\sqrt{1+y'^2}}e^{-a \arctan y'}=bx+c,$ son constantes, y $a,b,c$ es una función de $y$.

Obviamente, no hay ninguna manera de ponerlo en el % de forma $x$e integrar. Sin embargo, sé que existe una solución paramétrica simple: $$\begin{align} x(t) &= c_1 + c_2 e^{-a t}(a\cos t-\sin t) \\ y(t) &= c_3 + c_2 e^{-a t}(a\sin t+\cos t), \end {Alinee el} $ $y'=f(x)$ constantes (que depende del $c_1,c_2,c_3$). ¿Cómo podemos llegar a esta solución? ¿Qué es el método?

Answer 1

Aquí es un comienzo, que

$$ \arctan(y')=t \implies y' = \tan(t). $$

Subs en la Oda, tenemos

$$ \frac{a-y'}{\sqrt{1+y'^2}}e^{-a \arctan y'}=bx+c \implies \frac{a-\tan(t)}{\sec(t)}e^{-a t}=bx+c $$

$$ \implies x(t) = -\frac{c}{b} + \frac{1}{b}(a\cos(t)-\sin(t))e^{-at} $$

$$ \implies x(t) = c_1 + c_2e^{-at}(a\cos(t)-\sin(t)). $$

Ahora, usted necesita encontrar $y(t)$. Creo que puede terminar la tarea.