Principiante recursos de aprendizaje: función de Pdf y la probabilidad para el modelo de serie de tiempo no gaussiano

Question

Estoy luchando con el ejercicio de los problemas relacionados con el sistema de persiana de identificación donde el conocimiento acerca de la fuente de entrada se supone conocido el uso de la estimación de máxima verosimilitud de univariado de series de tiempo de los procesos que no son Gaussianas. Por ejemplo, un modelo de AR que es excitado por la no distribución de Gauss como Bernoulli y, a continuación, la estimación de ruidoso de la serie de tiempo en donde el ruido es Gaussiano.

La AR(p) modelo de ser $y(t) = \phi_1y(t-1) + \phi_2y(t-2)+\ldots+\phi_py(t-p) + \eta(t)$

donde $\eta$ fija de excitación de entrada de blanco de Bernoulli distribución y el proceso son estacionarias.

Vamos a la salida del proceso de ser dañado con el ruido de medición $v(t)$ que es blanco de ruido Gaussiano de cero de media desconocida y varianza $\sigma^2_V$: $z_{ar}(t) = y(t) + v(t)$

$v(t)$ no tiene correlación con el $\eta(t)$.

Problema 1: ¿Cuál será el conjunto de pdf para el silencioso y el ruidoso modelo?

Problema 2: En la aplicación de ciego de identificación del sistema, asumimos que la excitación de entrada de $\eta$ es cero media con varianza desconocida?

Puede alguien por favor de proporcionar referencias y directrices para proceder a encontrar las soluciones? Gracias.

Answer 1

Deje $\Phi=(\phi_1,...,\phi_p)$ $\mathbf{y}_{t-1} = (y_{t-1},...,y_{t-p})$

De modo que las ecuaciones se convierten $y_t = \Phi^{T}\mathbf{y}_{t-1} + \eta(t)$ $z_{t} = y_{t} + v(t)$

así $$ z_t - \Phi^{T}\mathbf{y}_{t-1} = \eta(t) + v(t) $$ Donde $p$ es el parámetro de la variable de distribución de Bernoulli $\eta$; tenga en cuenta que $$E[\eta(t) + v(t)]=p$$ and $$var[\eta(t) + v(t)]=p(1-p)+\sigma^2$$ Donde $\sigma^2$ es la variación de $v(t)$.

El uso de este construimos la función de probabilidad $$ \prod^{N}_{n=p+1} \mathcal{H}(z_t - \Phi^{T}\mathbf{y}_{t-1}\,|\,p\,,\,p(1-p)+\sigma^2) $$

donde $\mathcal{H}$ es un pdf de un desconocido media de $p$ y la varianza $p(1-p)+\sigma^2$.

Personalmente yo asumiría $\mathcal{H}$ es una distribución normal, ya que, en promedio, $\eta(t) + v(t) \sim \mathcal{N}(\,p\,,\,p(1-p)+\sigma^2)$

pero esta es la lógica difusa ya que viola el supuesto de que $(\eta(t) + v(t))$ son idénticamente distribuidas...pero es que mis 2 centavos de todos modos.