Cómo determinar a qué grupo es isomorfo un grupo de Galois

Question

Considere $x^{4}-2=(x+\sqrt[4]{2})(x-\sqrt[4]{2})(x+i\sqrt[4]{2})(x-i\sqrt[4]{2}) \in \mathbb{Q}[x]$ . Sea $K=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ sea el campo de división de $x^{4}-2$ . Desde $K$ es un campo de división y estamos en la característica 0, se deduce que $K/\mathbb{Q}$ es Galois. Finalmente, $[K\colon\mathbb{Q}]=8$ .

Quiero calcular el grupo de Galois $K/\mathbb{Q}$ . Como la extensión es de Galois, hay 8 elementos en este grupo. Resulta que este grupo es isomorfo al grupo diédrico de orden 8 (he visto ejemplos de esto pero no tengo una referencia).

¿Qué pasos seguiría para llegar a la conclusión de que este grupo es el grupo diédrico?

Concretamente sé que cada automorfismo del grupo de Galois permuta las raíces, pero no veo cómo hacer la conexión de que estos elementos son los mismos que el grupo diédrico de orden 8. Agradecería un análisis detallado porque creo que esto me permitiría aplicar estas técnicas a muchos otros problemas de la teoría de Galois. Gracias.

Answer 1

Desde $x^4-2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ (Criterio de Eisensein en $p-2$ por ejemplo), el grupo de Galois es transitivo en las cuatro raíces. Existe un automorfismo que mapea $\sqrt[4]{2}$ a $i\sqrt[4]{2}$ ; llámalo $\rho$ . Este mapa o bien mapea $i$ a $i$ o $i$ a $-i$ .

Si se mapea $i$ a $i$ entonces considere $\sigma$ , conjugación compleja. Tenemos que $\sigma\rho$ mapas $i$ a $-i$ y $\sqrt[4]{2}$ a $-i\sqrt[4]{2}$ mientras que $\rho\sigma$ mapas $i$ a $-i$ pero $\sqrt[4]{2}$ a $i\sqrt[4]{2}$ . Así que $G$ no es abeliana.

Si $\rho$ mapas $i$ a $-i$ entonces $\sigma\rho$ mapas $\sqrt[4]{2}$ a $-i\sqrt[4]{2}$ y $i$ a $i$ . Tomando $(\sigma\rho)^3$ obtenemos un mapa que envía $i$ a $i$ y $\sqrt[4]{2}$ a $i\sqrt[4]{2}$ , por lo que volvemos a estar en el caso anterior. Así que de cualquier manera, $G$ no es abeliana.

Esto significa que o bien es diédrico, o bien el grupo de cuaterniones de orden $8$ (los únicos grupos no abelianos de orden $8$ ). Pero en el grupo de cuaterniones, el único elemento de orden $2$ es central (es $-1$ ), mientras que la conjugación compleja, que es de orden $2$ en el grupo de Galois, no es central, como acabamos de ver. Esto significa que el grupo de Galois debe sea el grupo diédrico de orden $8$ . Alternativamente, en el grupo de cuaterniones hay un único elemento de orden $2$ Pero $G$ tiene al menos dos: conjugación compleja y $\rho^2$ . Así que $G$ debe ser diédrico, no cuaternario.

Explícitamente, nuestro mapa $\rho$ que envía $\sqrt[4]{2}$ a $i\sqrt[4]{2}$ y $i$ a $i$ es de orden $4$ ; conjugación compleja $\sigma$ es de orden $2$ ; ahora observa que $\sigma\rho=\rho^3\sigma$ (ambos mapas $i$ a $-i$ y $\sqrt[4]{2}$ a $-i\sqrt[4]{2}$ ). Esto le da explícitamente la estructura diédrica: $G$ contiene $\langle \sigma,\rho\mid \sigma^2=\rho^4=1,\ \sigma\rho=\rho^3\sigma\rangle$ que es de orden $8$ Así que $G$ es este grupo, que es el grupo diedro de orden $8$ .

Answer 2

No dices si sabes cuáles son los automorfismos. Si lo sabes, deberías ser capaz de encontrar los automorfismos $f$ y $g$ con $f^4=1$ , $g^2=1$ y $fg=gf^{-1}$ y que (junto con saber que $f$ y $g$ generan el grupo) es una presentación del grupo diédrico.