¿Por qué uno de los criterios para un módulo noetheriano no está implicado por el lema de Zorn?

Question

Una de las definiciones equivalentes de un módulo $R$ noetheriano es

Cada colección no vacía de submódulos de $R$ tiene un elemento maximal bajo la inclusión

Entonces, la pregunta que me hago es, ¿por qué esto no es una aplicación inmediata del lema de Zorn que se aplica a cualquier módulo? Nuestros submódulos de $R$ tienen un orden parcial natural bajo la inclusión, y están acotados por arriba por $M$ porque todos deben estar contenidos en $M$.

Por supuesto, mi lógica debe estar equivocada en alguna parte porque no todos los módulos son noetherianos. ¿Qué me falta?

Answer 1

El lema de Zorn te dice que si consideras el conjunto de todos los submódulos, entonces este conjunto tiene un elemento maximal. No te dice si cada colección no vacía contiene este elemento maximal, por lo que no puedes concluir que la colección tenga uno.

Ahora bien, la colección de hecho tiene un límite superior (como has señalado, $ M $ es un submódulo, ya que es un submódulo de sí mismo) pero este límite superior no necesita estar en la colección.

Answer 2

Lema de Zorn Si cada cadena en un conjunto parcialmente ordenado tiene una cota superior, entonces el conjunto parcialmente ordenado tiene un elemento maximal.

La condición que estás mencionando se refiere a cualquier (no vacío) colección de submódulos que tenga un elemento maximal. Tales colecciones no necesariamente cumplen con la condición de que cada cadena tenga una cota superior, por lo tanto el lema de Zorn no puede aplicarse.

Es fácil mostrar un ejemplo de un conjunto parcialmente ordenado (de hecho un conjunto totalmente ordenado) que no cumple con la hipótesis del lema de Zorn, específicamente los números naturales bajo la ordenación usual. Nótese que ningún subconjunto infinito de los números naturales tiene un elemento maximal.

Volviendo a los módulos, algunas (no vacías) colecciones de submódulos tienen elementos maximales: las colecciones finitas y también todas las colecciones que contienen al módulo mismo.

Sin embargo, existen ejemplos de módulos tales que ningún conjunto infinito de submódulos propios tiene un elemento maximal. Uno de ellos es el grupo de Prüfer $p$, donde los subgrupos propios están ordenados linealmente al igual que los números naturales.

Answer 3

La lema de Zorn dice que si $X$ es un conjunto parcialmente ordenado y cada cadena tiene una cota superior, entonces $X$ tiene un elemento maximal. No dice que cada cadena tenga un elemento maximal, que es lo relevante aquí.