Problema de Victor Prasolov ' s polinomios--encontrar el número de raíces reales de $nx^{n}-x^{n-1}-\cdots -1$

Question

En el Capítulo 1 de Polinomios por Victor Prasolov, Springer, 2001, el siguiente teorema queda demostrado. (p.3)

Teorema 1.1.4 (Ostrovsky). Vamos $f(x)=x^{n}-b_{1}x^{n-1}-\cdots -b_{n}$, donde todos los números de $b_{i}$ son no negativos y al menos uno de ellos es distinto de cero. Si el máximo común divisor de los índices de los positivos los coeficientes de $b_{i}$ es igual a $1$ , $f$ tiene un único positivo raíz de $p$ y el valor absoluto de las otras raíces se $<$ p.

El siguiente es uno de los Problemas del Capítulo 1 (p.41).

Problema 1.5 - Encontrar el número de la real las raíces de los siguientes polinomios

a) ...

b) $nx^{n}-x^{n-1}-\cdots -1$

Pregunta: ¿Cómo resolver este Problema?

---

Agregó: $nx^{n}-x^{n-1}-\cdots -1=0$ $\Leftrightarrow x^{n}-\dfrac{1}{n}x^{n-1}-\cdots -\dfrac{1}{n}=0$

Añadido 2: del Teorema de Sturm.

Answer 1

Creo que hay algo de valor en saber cómo realizar este tipo de problemas "a mano". La prueba en este caso es bastante simple. Si $|x| > 1$,$|x^n| > |x^k|$$k < n$, por lo tanto

$$n |x|^n > |x|^{n-1} + |x|^{n-2} + ... + |1| \ge |x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1|$$

por la desigualdad de triángulo, por lo que este polinomio $f(x)$ no tiene raíces de valor absoluto mayor que $1$. De ello se sigue que cualquier real raíces se encuentran en la $[-1, 1]$. Por la inspección de $x = 1$ es una raíz y $x = 0, -1$ no, por lo tanto ninguna de las restantes raíces se encuentran en la $(0, 1)$ o $(-1, 0)$. Si $x \in (0, 1)$, luego

$$x^{n-1} + x^{n-2} + ... + 1 > nx^n$$

así que no hay raíces en $(0, 1)$. Para encontrar cualquier restantes raíces en $(-1, 0)$, vamos

$$g(x) = f(x) (x - 1) = nx^n(x - 1) - x^n + 1 = nx^{n+1} - (n+1) x^n + 1.$$

A continuación, $g'(x) = n(n+1) x^n - n(n+1) x^{n-1} = n(n+1) x^{n-1}(x - 1)$ tiene raíces $x = 0, 1$, por lo tanto $g$ es monótona en $(-1, 0)$, por lo que para determinar si hay raíces en este intervalo es suficiente para calcular los $g(-1)$$g(0)$. Tenemos $g(0) = 1$ $g(-1) = -2n$ si $n$ es incluso y $g(-1) = 2n+2$ si $n$ es impar. En el primer caso hay una raíz real en $(-1, 0)$ por el IVT y en el segundo caso no hay ninguno.