$\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}e^{-x}\left(\sum_{k＝1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!\sqrt{k}}\right)$

Question

%#% $ #% Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 1

(He sobrescrito mi anterior respuesta incorrecta.)

Para cualquier constante positiva $c > 1$ tenemos: \begin{align*}S(cx) = e^{-x}\sum\limits_{k \ge cx} \frac{x^k}{k!} &= e^{-x}\frac{x^{cx}}{(cx)!}\left(1 + \frac{x}{(cx+1)} + \frac{x^2}{(cx+1)(cx+2)} + \cdots\right) \\& \le e^{-x}\frac{x^{cx}}{(cx)!}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{c^k} < \frac{c}{c-1}e^{-x}x^{cx}\frac{e^{cx}}{(cx)^{cx}} = \frac{ce^{-((c\log c) -c +1)x}}{c-1}\end{align*}

donde hemos usado la desigualdad, $x! > e^{-x}x^{x}$ para suficientemente grande $x$. También tenga en cuenta que $(c\log c) - c + 1 > 0$ todos los $c > 0$

De nuevo, lo suficientemente grande para $x$: \begin{align*}T(x/c) = e^{-x}\sum\limits_{0 \le k < x/c} \frac{x^k}{k!} = e^{-x}\sum\limits_{0 \le k < x/c} \frac{c^k(x/c)^k}{k!} & \le e^{-x}\frac{(x/c)^{x/c}}{(x/c)!}\sum\limits_{0 \le k < x/c} c^k \\& < e^{-x}e^{x/c}\frac{xc^{x/c}}{c} = \frac{x}{c}e^{-\left(1 - \frac{1}{c} - \frac{\log c}{c}\right)x}\end{align*} donde, se nota que $(1 - \frac{1}{c} - \frac{\log c}{c}) > 0$.

Por lo tanto, tenemos por cualquier $c>1$, $$\displaystyle e^{-x}\sum\limits_{x/c \le k \le cx} \frac{x^k}{k!} = 1 - S(cx) - T(x/c) \quad \underbrace{\longrightarrow}_{ x \to +\infty} \quad 1 \tag{1}$$

Ahora, tenemos las estimaciones sencillas, $$\frac{e^{-x}}{\sqrt{cx}}\sum\limits_{x/c \le k \le cx} \frac{x^k}{k!} < e^{-x}\sum\limits_{x/c \le k \le cx} \frac{x^k}{k!\sqrt{k}} < \frac{e^{-x}}{\sqrt{x/c}}\sum\limits_{x/c \le k \le cx} \frac{x^k}{k!} \tag{2}$$

y $$e^{-x}\sum\limits_{k \not\in [x/c,cx]} \frac{x^k}{k!\sqrt{k}} < T(x/c) + S(cx) \tag{3}$$ donde, tanto los términos en el límite superior decae exponencialmente.

Por lo tanto, de $(1),(2)$ $(3)$ tenemos que el límite requerido: $$\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!\sqrt{k}} \in \left(\frac{1}{\sqrt{c}},\sqrt{c}\right)$$ for arbitrary $c > 1$, i.e., the required limit is $1$ (como se ha señalado por el usuario cansado en los comentarios).

Supongo que para cualquier función de $\alpha(x)$ con atmost polinomio de crecimiento y continua en $x = 1$ podemos modificar ligeramente el argumento anterior y mostrar, $$\lim\limits_{x \to \infty} e^{-x}\sum\limits_{k=1}^{\infty} \alpha\left(\frac{k}{x}\right)\frac{x^k}{k!} = \alpha(1)$$